સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ

ગણિત શરૂઆતથી અસ્તિત્વમાં છે. જો ઇશાંગો અસ્થિની શોધ (20.000 વર્ષ પહેલાં) માનવામાં આવે તો, તે પ્રથમ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અને ગુણાકારના જ્ઞાનનો પ્રથમ પુરાવો હોઈ શકે છે, પરંતુ વિષય વિવાદાસ્પદ રહે છે. જ્યારે ગણિત આપણામાંના ઘણા લોકો માટે એક રહસ્ય રહે છે, કેટલાક લોકો તેને વિશ્વને સમજવા અને વિશ્લેષણ કરવાની એક શ્રેષ્ઠ રીત તરીકે જુએ છે. ગણિતમાં છે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓકંઈક કે જે ઘણા લોકો જાણતા નથી.

આ લેખમાં અમે તમને સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ અને તેમની લાક્ષણિકતાઓ વિશે જાણવાની જરૂર છે તે બધું જ જણાવવા જઈ રહ્યા છીએ.

સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ શું છે

પરફેક્ટ નંબરો મર્સેન પ્રાઇમ્સ શોધવા વિશે છે. વાસ્તવમાં, યુક્લિડ્સ એલિમેન્ટ્સના પુસ્તક IX ની દરખાસ્ત 36 કહે છે કે જો મર્સેન નંબર 2n – 1 અવિભાજ્ય છે, તો 2n-1 (2n – 1) સંપૂર્ણ સંખ્યા છે.

રેને ડેસકાર્ટેસે મેસનને લખેલા પત્રમાં પુષ્ટિ કરી કે કોઈપણ સમ સંખ્યા યુક્લિડ હતી, પરંતુ તેણે પોતાનો સિદ્ધાંત સાબિત કર્યો ન હતો. તેના બદલે, સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનહાર્ડ યુલર તેઓ કાર્ટેશિયન અવલોકન દર્શાવનાર પ્રથમ હતા. યુક્લિડ અને યુલરના પરિણામોનું સંયોજન સંપૂર્ણ સંખ્યાઓની સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતા મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

પ્રથમ ચાર સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ પ્રાચીન સમયથી જાણીતી છે. તેઓ નિકો માર્કોસ ડી ગ્રેસા અને થીઓન ડી સ્મિર્નાના કાર્યોમાં દેખાય છે. 1456 ના લેટિન કોડમાં પાંચમી સંપૂર્ણ સંખ્યાનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે. છઠ્ઠી અને સાતમી સંપૂર્ણ સંખ્યા XNUMXમી સદીમાં કેટાલ્ડીએ શોધી કાઢી હતી, અને 1772માં યુલર દ્વારા આઠમો.

તેથી 1950 ના દાયકાની શરૂઆતમાં અમે સંપૂર્ણ 12 નંબરો જાણતા હતા, પરંતુ તે પછી GIMPS (ગ્રેટ ઈન્ટરનેટ મર્સેન પ્રાઇમ સર્ચ) ને આભારી, 1990 ના દાયકામાં વધુને વધુ અત્યાધુનિક તકનીક અને કમ્પ્યુટરના ઉપયોગ સાથે શોધને વેગ મળ્યો.

તેઓ કયા માટે છે

જો ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને અંકગણિતનો આધાર માને છે, તો સંપૂર્ણ સંખ્યાઓનો કોઈ ખાસ ઉપયોગ નથી, કારણ કે તેનો ઉપયોગ સમીકરણો ઉકેલવા, પરિબળ અથવા સંકેતલિપીના ક્ષેત્રમાં પ્રવેશવા માટે થતો નથી.

પ્રાચીન સમયમાં, તેઓને શ્રેષ્ઠ માનવામાં આવતું હતું, અને કોઈએ તેમાં એક રહસ્યવાદી ભૂમિકા જોઈ હતી: "છ પોતે એક સંપૂર્ણ સંખ્યા છે, એટલા માટે નહીં કે ભગવાને છ દિવસમાં બધું બનાવ્યું છે, પરંતુ કારણ કે ભગવાને છ દિવસમાં બધું બનાવ્યું છે કારણ કે સંખ્યા સંપૂર્ણ છે" - સેન્ટ ઓગસ્ટિન ઇન ધ સિટી ઓફ ગોડ (420 એડી)

તેઓ ગણિતના રહસ્યોમાંથી એક છે, અને નવી સંપૂર્ણ સંખ્યાઓની શોધ ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓને આકર્ષિત કરવાનું ચાલુ રાખે છે.

સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ વિશે ઘણું અનુમાન છે. અનુમાન એ એક નિયમ છે જે ક્યારેય સાબિત થયો નથી. અહીં ત્રણ છે:

• યુક્લિડની સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ બધી સમ સંખ્યાઓ છે કારણ કે એક પરિબળ 2 ની ઘાત છે. પરંતુ કોઈ વિષમ સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ નથી તે સાબિત કરવા માટે કોઈ પુરાવા નથી;
• બધી જાણીતી સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ 6 અથવા 28 માં સમાપ્ત થાય છે, પરંતુ આ હંમેશા કેસ નથી;
• તેમ જ તે સાબિત થયું નથી કે ખરેખર અસંખ્ય સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ છે.

સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ શું છે

સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ દુર્લભ છે. જ્યારે બધા ગણિતશાસ્ત્રીઓ સંમત થાય છે કે તેમાંની અસંખ્ય સંખ્યા છે (ક્યારેય સાબિત થઈ નથી), આજે આપણે ફક્ત 50 જાણીએ છીએ અને આપણે ખાતરી પણ કરી શકતા નથી કે 47 થી કોઈ સંપૂર્ણ સરેરાશ સંખ્યા શોધાયેલ નથી.

છેલ્લી સંપૂર્ણ સંખ્યા જાન્યુઆરી 2018 માં મળી આવી હતી. નવા બહુ મોટા પ્રાઇમની શોધનો અર્થ થાય છે નવી સંપૂર્ણ સંખ્યાની શોધ, જે સંખ્યા 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 ની શોધ છે.

1000 કરતાં ઓછી માત્ર ત્રણ સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ છે: 6, 28 અને 496. દેખીતી રીતે પણ સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ 6 અથવા 8 માં સમાપ્ત થાય છે, જો કે આ ક્યારેય સાબિત થયું નથી, તે હંમેશા કેસ નથી.

સૂત્ર 2n-1 (2n – 1) માં સમ સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ ત્રિકોણાકાર (અથવા તો ષટ્કોણ) સંખ્યાઓ છે. બીજી તરફ, પ્રથમ સંપૂર્ણ બેકી સંખ્યા સિવાયની તમામ બેકી સંખ્યાઓ પ્રથમ બેકી સંખ્યાઓના 2(n-1)/2 સમઘનનો સરવાળો છે. દાખ્લા તરીકે:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

પ્રથમ આઠ સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ છે:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843 008 139 952 128.

કેટલાક ઇતિહાસ

સેન્ટ ઓગસ્ટિન, જેને હિપ્પોના ઓગસ્ટિન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે (354-430), એફતે રોમન ફિલોસોફર, લેખક, ગણિતશાસ્ત્રી અને પાદરી હતા. જો તમે ફિલસૂફીના વિષયનો અભ્યાસ કર્યો હોય, તો નામ તમને પરિચિત હશે, કારણ કે તે ફિલસૂફોમાંના એક છે જે સામાન્ય રીતે આ વિષયનો અભ્યાસ કરે છે. તેમના સમયના અન્ય ઘણા બૌદ્ધિકોની જેમ, સેન્ટ ઑગસ્ટિન એવા લોકોમાંના એક હતા જેમણે ફિલસૂફીથી લઈને ગણિત સુધીના ક્ષેત્રોમાં જ્ઞાન વિકસાવ્યું અને ગહન કર્યું, જેમાં આજે આપણે કલ્પના કરી શકીએ તે કરતાં ઘણું બધું જોવાનું છે.

ઠીક છે, હિપ્પોના ઑગસ્ટિને કહ્યું કે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વનું કારણ છે. તેમના કાર્ય ધ સિટી ઓફ ગોડમાં, તેમણે સમજાવ્યું કે 6 સંપૂર્ણ છે કારણ કે ભગવાને છ દિવસમાં વિશ્વનું સર્જન કર્યું છે. પછીની સંખ્યા, 28, ચંદ્રને એકવાર પૃથ્વીની આસપાસ ફરવા માટે જેટલા દિવસો લાગે છે તેને અનુરૂપ છે. આ નિવેદન વિવાદ વગરનું નથી, સંયોગ છે કે નહીં?

આગામી બે નંબરો માટે કોઈ સમજૂતી આપવામાં આવી નથી. તેઓ 496 અને 8128 છે. પ્રથમ ચાર નંબરોની શોધ XNUMXલી સદીની શરૂઆતમાં ગેરાસાના નિકોમાકસ દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જે એક ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી હતા જેઓ પ્રાચીન શહેર ડેકાપોલિસમાં રહેતા હતા, જે હવે જોર્ડન છે, જે રોમન સામ્રાજ્યનું છે.

પાંચમી સંપૂર્ણ સંખ્યા શોધવા માટે આપણે પંદરમી સદી સુધી પહોંચ્યા ત્યાં સુધી ઇતિહાસમાં મોટી છલાંગ લગાવવી પડી, કારણ કે પાંચમી સંપૂર્ણ સંખ્યા 33 550 336 આ સદીની હસ્તપ્રતોમાં દેખાય છે. છઠ્ઠા અને સાતમા, 8.589.869.056 અને 137.438.691.328, એક સદી પછી, 1588 માં, ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી પીટ્રો કેટાલ્ડીએ શોધી કાઢ્યા હતા.

સંપૂર્ણ સંખ્યાઓની જેમ, મરસેન સંખ્યાઓની માત્ર મર્યાદિત સંખ્યા જ જાણીતી છે. નંબરો મારિન મેસનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યા છે, તે માણસ કે જેણે તેમના વિશે ધારણાઓની શ્રેણીનો પર્દાફાશ કર્યો. મેસન ફ્રેન્ચ ફિલસૂફ, ગણિતશાસ્ત્રી અને પાદરી (1588-1648) હતા.

મેસન દ્વારા નાખવામાં આવેલા પાયાને આભારી, આ વિશિષ્ટ સંખ્યાઓની શોધ યુલર જ હતી. લિયોનહાર્ડ પોલ યુલર (1707-1783) સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી અને ભૌતિકશાસ્ત્રી હતા. અલબત્ત, તેનું નામ તમને પહેલેથી જ પરિચિત હશે, કારણ કે સંપૂર્ણ આઠમો નંબર શોધવો એ તેની એકમાત્ર સિદ્ધિ નહોતી. તેનું નામ યુલરના નંબર (e) પરથી પણ પડ્યું, જેનો ઉપયોગ ઘણા ભૌતિક અને કોમ્પ્યુટેશનલ ફોર્મ્યુલામાં થાય છે.

હું આશા રાખું છું કે આ માહિતી દ્વારા તમે આ સંખ્યાઓ અને તેમની લાક્ષણિકતાઓ વિશે વધુ જાણી શકશો.