க்ளீன் பாட்டில்

இடவியலில், கணிதத்தின் ஒரு பிரிவு, க்ளீன் பாட்டில் நோக்குநிலை இல்லாத மேற்பரப்பிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இது ஒரு இரு பரிமாண பன்மடங்கு ஆகும், இதற்கு சாதாரண திசையன்களை தீர்மானிக்க ஒரு அமைப்பை தொடர்ந்து வரையறுக்க முடியாது. முறைசாரா முறையில், இது ஒரு பக்க மேற்பரப்பாகும், அதைக் கடந்து சென்றால், பயணி திரும்பும் போது அதன் தோற்றத்திற்குத் திரும்பலாம்.

இந்த கட்டுரையில், க்ளீன் பாட்டில், அதன் பண்புகள் மற்றும் ஆர்வங்கள் பற்றி நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அனைத்தையும் நாங்கள் உங்களுக்குச் சொல்லப் போகிறோம்.

முக்கிய பண்புகள்

Möbius கீற்றுகள் மற்றும் உண்மையான ப்ரொஜெக்ஷன் விமானங்கள் ஆகியவை தொடர்புடைய பிற நோக்குநிலை அல்லாத பொருள்கள். மொபியஸ் கீற்றுகள் வரையறுக்கப்பட்ட மேற்பரப்புகளாகும், அதே சமயம் க்ளீன் பாட்டில்களுக்கு வரம்புகள் இல்லை. ஒப்பிடுகையில், ஒரு கோளம் ஒரு எல்லையற்ற நோக்குநிலை மேற்பரப்பு. க்ளீன் பாட்டில் முதன்முதலில் 1882 இல் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஃபெலிக்ஸ் க்ளீனால் விவரிக்கப்பட்டது.

கையால் ஊதப்பட்ட க்ளீன் கண்ணாடி பாட்டில்களின் தொகுப்பு லண்டனில் உள்ள அறிவியல் அருங்காட்சியகத்தில் காட்சிக்கு வைக்கப்பட்டுள்ளது, இது இந்த இடவியல் கருப்பொருளில் பல மாறுபாடுகளைக் காட்டுகிறது. பாட்டில்கள் 1995 ஆம் ஆண்டிலிருந்து ஆலன் பென்னட்டால் அருங்காட்சியகத்திற்காக தயாரிக்கப்பட்டன.

க்ளீன் பாட்டில் தன்னை கடக்கவில்லை. எனினும், க்ளீன் பாட்டிலை நான்கு பரிமாணங்களில் காட்சிப்படுத்த ஒரு வழி உள்ளது. முப்பரிமாண இடத்தில் நான்காவது பரிமாணத்தைச் சேர்ப்பதன் மூலம் சுய-குறுக்குவெட்டுகளை அகற்றலாம். நான்காவது பரிமாணத்தில் அசல் 3D இடத்திலிருந்து வெட்டும் பகுதியைக் கொண்ட ஒரு குழாய் பகுதியை மெதுவாகத் தள்ளுங்கள். ஒரு விமானத்தை வெட்டும் வளைவைக் கருத்தில் கொள்வது பயனுள்ள ஒப்புமை. விமானத்திலிருந்து நூல்களை உயர்த்துவதன் மூலம் சுய-குறுக்குவெட்டுகளை அகற்றலாம்.

தெளிவுபடுத்த, நான்காவது பரிமாணமாக நேரத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம். xyzt இடத்தில் வரைபடத்தை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதைக் கவனியுங்கள். இணைக்கப்பட்ட படம் (“காலப்போக்கில் பரிணாமம்…”) இந்த உருவத்தின் பயனுள்ள பரிணாமத்தை காட்டுகிறது. t = 0 இல், சுவர் "குறுக்குவெட்டுக்கு" அருகில் எங்காவது முளைக்கிறது. உருவம் பெரிதாக வளர்ந்த பிறகு, சுவரின் முதல் பகுதி பின்வாங்கத் தொடங்கியது, செஷயர் பூனை போல மறைந்தது. ஆனால் அவரது பரந்த புன்னகையை விட்டுவிட்டு. ஷூட் இருக்கும் இடத்தை வளர்ச்சி முகப்பு அடையும் போது, ​​கடக்க எதுவும் இல்லை மற்றும் ஏற்கனவே உள்ள கட்டமைப்பைத் துளைக்காமல் வளர்ச்சி நிறைவடைகிறது.

க்ளீன் பாட்டில் பண்புகள்

க்ளீன் பிளாஸ்க் என்பது நோக்குநிலை இல்லாத மேற்பரப்பாகும், இது பெரும்பாலும் ஒரு வளைந்த கழுத்துடன் நீண்ட கழுத்து குடுவையாக சித்தரிக்கப்படுகிறது, இது ஒரு தளமாக திறக்க உள்ளே இருந்து அனுப்பப்படுகிறது. க்ளீன் பாட்டிலின் தனித்துவமான வடிவம் அதன் ஒரே ஒரு மேற்பரப்பைக் கொண்டுள்ளது: உட்புறம் வெளிப்புறத்திற்கு சமம். ஒரு க்ளீன் பாட்டில் உண்மையில் முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் இருக்க முடியாது, ஆனால் கண்ணாடி வீசும் பிரதிநிதித்துவம் சில சுவாரஸ்யமான நுண்ணறிவுகளை நமக்குத் தரும். இது உண்மையான க்ளீன் பாட்டில் அல்ல, ஆனால் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஃபெலிக்ஸ் க்ளீன் க்ளீன் பாட்டிலுக்கான யோசனையைக் கொண்டு வந்தபோது அதைக் கற்பனை செய்ய உதவுகிறது.

ஒரு கோளத்தின் வெளிப்புறம் போன்ற ஓரியண்டபிள் மேற்பரப்பில் குறியீடு இணைக்கப்பட்டிருந்தால், நீங்கள் அதை எப்படி நகர்த்தினாலும் அது அதே நோக்குநிலையைப் பராமரிக்கும். க்ளீன் பாட்டிலின் சிறப்பு வடிவம், சின்னத்தை வெவ்வேறு திசைகளில் ஸ்லைடு செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது: அது அதே மேற்பரப்பில் தன்னைப் பற்றிய ஒரு கண்ணாடிப் படமாகத் தோன்றும். க்ளீன் பாட்டிலின் இந்த சொத்து அதை நோக்குநிலைப்படுத்த இயலாது.

க்ளீன் பாட்டில் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் பெலிக்ஸ் க்ளீன் பெயரிடப்பட்டது. பெலிக்ஸ் க்ளீனின் கணிதப் பணி அவரை மெபியஸ் கீற்றுகளை நன்கு அறிந்திருந்தது. ஒரு Möbius துண்டு என்பது ஒரு தாள் ஆகும், அது அரை திருப்பமாக சுழற்றப்பட்டு, இறுதியில் இருந்து இறுதி வரை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த திருப்பம் ஒரு சாதாரண தாளை நோக்குநிலை இல்லாத மேற்பரப்பாக மாற்றுகிறது. ஃபெலிக்ஸ் க்ளீன் இரண்டு Möbius கீற்றுகளை அவற்றின் விளிம்புகளுடன் இணைத்தால், அதே விசித்திரமான பண்புகளுடன் ஒரு புதிய வகை மேற்பரப்பை உருவாக்குவார்: ஒரு க்ளீன் மேற்பரப்பு அல்லது ஒரு க்ளீன் பாட்டில்.

க்ளீன் பாட்டில் ஒரு நோக்குநிலை அல்லாத மேற்பரப்பு என்று விவரிக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் மேற்பரப்பில் ஒரு சின்னம் இணைக்கப்பட்டால், அது ஒரு கண்ணாடிப் படத்தைப் போலவே அதே நிலைக்குத் திரும்பும் வகையில் சரியலாம்.

நிஜ வாழ்க்கையில் க்ளீன் பாட்டிலை உருவாக்க முடியுமா?

துரதிர்ஷ்டவசமாக, உண்மையான க்ளீன் பாட்டில்களைப் பார்க்க விரும்புபவர்களுக்கு, நாம் வாழும் முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் அவற்றை உருவாக்க முடியாது. க்ளீன் குடுவையை உருவாக்க இரண்டு Möbius கீற்றுகளின் விளிம்புகளை இணைக்கவும் இது கோட்பாட்டு மாதிரிகளில் இல்லாத குறுக்குவெட்டுகளை உருவாக்குகிறது. க்ளீன் பாட்டிலின் உண்மையான மாடல் கழுத்து பக்கவாட்டில் வரும்போது தானே செல்ல வேண்டும். இது உண்மையில் செயல்பாட்டு க்ளீன் பாட்டில் இல்லாத ஒன்றைத் தருகிறது, ஆனால் இன்னும் ஆராய்வதற்கு வேடிக்கையாக உள்ளது.

க்ளீன் ஃப்ளாஸ்க்குகள் Möbius கீற்றுகளுடன் பல விசித்திரமான பண்புகளைப் பகிர்ந்துகொள்வதால், க்ளீன் பிளாஸ்க்களின் நுணுக்கங்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கு கணிதத்தைப் பற்றிய ஆழமான புரிதல் இல்லாதவர்கள், ஃபெலிக்ஸ் க்ளீனின் மோபியஸ் கீற்றுகள் கவர்ச்சிகரமான கண்டுபிடிப்பை முயற்சி செய்யலாம்.

க்ளீன் மேற்பரப்பு

106cm உயரம், 62,2cm அகலம் மற்றும் 163,5cm சுற்றளவு கொண்ட இந்த மாபெரும் க்ளீன் பாட்டிலை வடிவமைத்தவர் Clifford Stol. இது 2001 மற்றும் 2003 க்கு இடையில் கில்டி சயின்டிஃபிக் கிளாஸால் கட்டப்பட்டது.

பொருளின் அசல் பெயர் க்ளீன் பிளாஸ்க் (ஜெர்மன் க்ளீன்ஷே ஃப்ளாஷ்) அல்ல, ஆனால் க்ளீன் சர்ஃபேஸ் (ஜெர்மன் க்ளீன்ஸ் ஃப்ளாச்சே). ஜெர்மன் மொழியிலிருந்து ஆங்கிலத்திற்குக் குறிப்புப் பொருளின் முதல் பொருளின் மொழிபெயர்ப்பு குழப்பமான சொற்கள். ஒரு பாட்டிலை நினைவூட்டும் வகையில் 3D ரெண்டரிங் தோற்றம் இருப்பதால், பிழையை யாரும் கவனிக்கவில்லை.

க்ளீன் பாட்டிலை அதன் சமச்சீர் சமதளத்தில் இரண்டாகப் பிரித்தால், இரண்டு Möbius கீற்றுகளை உருவாக்குகிறோம், அவை ஒவ்வொன்றும் மற்றொன்றின் கண்ணாடிப் பிம்பமாக இருக்கும் (ஒன்று கண்ணாடியில் பார்ப்பது போல). பிறகு, ஒரு க்ளீன் பாட்டில் என்பது நோக்குநிலை இல்லாத மேற்பரப்பிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, ஒரு Möbius துண்டு உள்ளது. அதை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதைத் தவிர வேறு எந்த செயல்பாடும் இல்லை. ஓரியண்டபிள் அல்லது நோன்-ஓரியண்டபிள் மேற்பரப்புகள் இடவியல் கருத்துக்கள். இரண்டும் ஒற்றைப் பக்க மேற்பரப்புகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள், ஏனெனில் அவை நோக்குநிலை கொண்டவை அல்ல. அதன் மந்திரம், அதை உருவாக்கும் அனைத்து புள்ளிகளையும் உள்ளடக்கி, முற்றிலும் தொடர்ச்சியான வழியில் அதை முழுமையாக மறைக்க முடியும்.

இந்த தகவலின் மூலம் நீங்கள் க்ளீன் பாட்டில் மற்றும் அதன் குணாதிசயங்களைப் பற்றி மேலும் அறியலாம் என்று நம்புகிறேன்.