परिपूर्ण संख्या

गणित हे सुरुवातीपासूनच अस्तित्वात आहे. जर इशांगो हाडाचा शोध (२०,००० वर्षांपूर्वीचा) विश्वास ठेवायचा असेल, तर तो पहिल्या मूळ संख्या आणि गुणाकाराच्या ज्ञानाचा पहिला पुरावा असू शकतो, परंतु हा विषय वादग्रस्त राहिला आहे. गणित हे आपल्यापैकी अनेकांसाठी एक गूढ राहिले असले तरी, काही लोक जगाला समजून घेण्याचा आणि विश्लेषण करण्याचा एक उत्तम मार्ग म्हणून पाहतात. गणितात आहेत परिपूर्ण संख्याअनेकांना माहीत नसलेली गोष्ट.

या लेखात आम्‍ही तुम्‍हाला परफेक्ट नंबर आणि त्‍यांच्‍या वैशिष्‍ट्यांबद्दल जाणून घेण्‍यासाठी आवश्‍यक असलेली प्रत्येक गोष्ट सांगणार आहोत.

परिपूर्ण संख्या काय आहेत

परिपूर्ण संख्या म्हणजे मर्सेन प्राइम शोधणे. खरं तर, युक्लिड्स एलिमेंट्सच्या पुस्तक IX च्या प्रस्ताव 36 मध्ये असे म्हटले आहे की जर मर्सेन क्रमांक 2n – 1 अविभाज्य असेल, तर 2n-1 (2n – 1) ही एक परिपूर्ण संख्या आहे.

रेने डेकार्टेसने मेसनला लिहिलेल्या पत्रात पुष्टी केली की कोणतीही सम संख्या युक्लिड आहे, परंतु त्याने आपला सिद्धांत सिद्ध केला नाही. त्याऐवजी, स्विस गणितज्ञ लिओनहार्ड यूलर कार्टेशियन निरीक्षण प्रदर्शित करणारे ते पहिले होते. युक्लिड आणि युलरच्या परिणामांचे संयोजन परिपूर्ण संख्यांचे संपूर्ण वैशिष्ट्य प्राप्त करण्यास अनुमती देते.

पहिल्या चार परिपूर्ण संख्या प्राचीन काळापासून ज्ञात आहेत. ते निको मार्कोस डी ग्रासा आणि थिओन डी स्मिर्ना यांच्या कामात दिसतात. 1456 च्या लॅटिन कोडमध्ये पाचव्या परिपूर्ण क्रमांकाचा उल्लेख आहे. सहाव्या आणि सातव्या परिपूर्ण संख्यांचा शोध XNUMXव्या शतकात कॅटाल्डीने लावला होता. आणि 1772 मध्ये युलरने आठवा.

म्हणून 1950 च्या दशकाच्या सुरुवातीस आम्हाला 12 संख्या अचूक माहित होत्या, परंतु नंतर GIMPS (ग्रेट इंटरनेट मर्सेन प्राइम सर्च) मुळे, 1990 च्या दशकात अत्याधुनिक तंत्रज्ञान आणि संगणकाच्या वापरामुळे शोध वेगवान झाला.

ते कशासाठी आहेत?

जर अनेक गणितज्ञ मूळ संख्यांना अंकगणिताचा आधार मानतात, तर परिपूर्ण संख्यांचा विशेष उपयोग नाही. कारण ते समीकरणे, घटक सोडवण्यासाठी किंवा क्रिप्टोग्राफीच्या क्षेत्रात प्रवेश करण्यासाठी वापरले जात नाहीत.

प्राचीन काळी, त्यांना श्रेष्ठ मानले जात होते, आणि कोणीतरी त्यात एक गूढ भूमिका पाहिली: "सहा ही एक परिपूर्ण संख्या आहे, कारण देवाने सहा दिवसांत सर्व काही निर्माण केले म्हणून नाही, तर देवाने सहा दिवसांत सर्व काही निर्माण केले कारण संख्या परिपूर्ण आहे" - सेंट ऑगस्टीन इन द सिटी ऑफ गॉड (420 एडी)

ते गणिताच्या रहस्यांपैकी एक आहेत आणि नवीन परिपूर्ण संख्यांचा शोध अनेक गणितज्ञांना भुरळ घालत आहे.

परिपूर्ण संख्यांबद्दल बरेच अंदाज आहेत. अनुमान हा एक नियम आहे जो कधीही सिद्ध झालेला नाही. येथे तीन आहेत:

• युक्लिडची परिपूर्ण संख्या सर्व सम संख्या आहेत कारण घटकांपैकी एक 2 ची घात आहे. परंतु विषम परिपूर्ण संख्या नाहीत हे सिद्ध करणारा कोणताही पुरावा नाही;
• सर्व ज्ञात परिपूर्ण संख्या 6 किंवा 28 मध्ये संपतात, परंतु हे नेहमीच नसते;
• तसेच हे सिद्ध झालेले नाही की खरोखरच असंख्य परिपूर्ण संख्या आहेत.

परिपूर्ण संख्या काय आहेत

परिपूर्ण संख्या दुर्मिळ आहेत. जरी सर्व गणितज्ञ सहमत आहेत की त्यांची संख्या असीम आहे (कधीही सिद्ध नाही), आज आपल्याला फक्त 50 माहित आहेत आणि 47 पासून एकही परिपूर्ण सरासरी संख्या सापडलेली नाही याची आपल्याला खात्रीही नाही.

शेवटची परिपूर्ण संख्या जानेवारी 2018 मध्ये शोधली गेली. नवीन खूप मोठ्या प्राइमचा शोध म्हणजे नवीन परिपूर्ण संख्येचा शोध, जो 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 या संख्येचा शोध आहे.

1000 पेक्षा कमी फक्त तीन परिपूर्ण संख्या आहेत: 6, 28 आणि 496. वरवर पाहता अगदी परिपूर्ण संख्या 6 किंवा 8 मध्ये संपतात, जरी हे कधीच सिद्ध झाले नाही, असे नेहमीच नसते.

सूत्र 2n-1 (2n – 1) मध्ये अगदी परिपूर्ण संख्या त्रिकोणी (किंवा अगदी षटकोनी) संख्या आहेत. दुसरीकडे, पहिली परिपूर्ण सम संख्या वगळता सर्व सम संख्या ही पहिल्या विषम संख्यांच्या 2(n-1)/2 घनांची बेरीज आहे. उदाहरणार्थ:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

पहिल्या आठ परिपूर्ण संख्या आहेत:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• ३१ १ २ ३ ४ ५ ६.

काही इतिहास

सेंट ऑगस्टीन, ज्याला हिप्पोचा ऑगस्टीन (354-430) म्हणूनही ओळखले जाते, एफतो रोमन तत्त्वज्ञ, लेखक, गणितज्ञ आणि धर्मगुरू होता. जर तुम्ही तत्त्वज्ञानाच्या विषयाचा अभ्यास केला असेल, तर हे नाव तुम्हाला परिचित असेल, कारण ते तत्त्वज्ञांपैकी एक आहेत जे सहसा या विषयाचा अभ्यास करतात. त्याच्या काळातील इतर अनेक विचारवंतांप्रमाणे, सेंट ऑगस्टीन हे त्यांच्यापैकी एक होते ज्यांनी तत्त्वज्ञानापासून गणितापर्यंतच्या क्षेत्रात ज्ञान विकसित केले आणि सखोल केले, ज्यात आज आपण कल्पना करू शकतो त्यापेक्षा बरेच काही पाहण्यासारखे आहे.

बरं, हिप्पोचा ऑगस्टीन म्हणाला की परिपूर्ण संख्यांना अस्तित्वात असण्याचे कारण आहे. देवाचे शहर या कामात त्यांनी स्पष्ट केले की 6 परिपूर्ण आहे कारण देवाने सहा दिवसांत जग निर्माण केले. पुढील संख्या, 28, चंद्राला एकदा पृथ्वीभोवती फिरण्यासाठी लागणाऱ्या दिवसांच्या संख्येशी संबंधित आहे. हे विधान वादविरहित नाही, योगायोग आहे की नाही?

पुढील दोन क्रमांकांसाठी कोणतेही स्पष्टीकरण दिलेले नाही. ते 496 आणि 8128 आहेत. पहिल्या चार क्रमांकाचा शोध गेरासा येथील निकोमाकस याने इसवी सनाच्या पूर्वार्धात डेकापोलिस, आता जॉर्डन, जो रोमन साम्राज्याशी संबंधित आहे, या प्राचीन शहरात राहत होता.

पाचवी परिपूर्ण संख्या शोधण्यासाठी आम्हाला पंधराव्या शतकापर्यंत पोहोचेपर्यंत इतिहासात मोठी झेप घ्यावी लागली, कारण पाचवा परिपूर्ण क्रमांक 33 550 336 या शतकातील हस्तलिखितांमध्ये दिसून आला. सहाव्या आणि सातव्या, 8.589.869.056 आणि 137.438.691.328, एका शतकानंतर, 1588 मध्ये, इटालियन गणितज्ञ पिएट्रो कॅटाल्डी यांनी शोधल्या.

परिपूर्ण संख्यांप्रमाणे मर्सेन संख्यांची केवळ मर्यादित संख्या ज्ञात आहे. क्रमांक मारिन मेसनच्या नावावर आहेत, त्यांच्याबद्दल गृहीतकांची मालिका उघड करणारा माणूस. मेसन हा फ्रेंच तत्त्वज्ञ, गणितज्ञ आणि धर्मगुरू (१५८८-१६४८) होता.

मेसनने रचलेल्या पायामुळे यूलरनेच या विशेष क्रमांकांचा शोध लावला. लिओनहार्ड पॉल यूलर (१७०७-१७८३) हे स्विस गणितज्ञ आणि भौतिकशास्त्रज्ञ होते. अर्थात, त्याचे नाव तुम्हाला आधीच परिचित असेल, कारण परिपूर्ण आठवा क्रमांक शोधणे ही त्याची एकमेव उपलब्धी नव्हती. त्याचे नाव युलरच्या क्रमांकावरून देखील मिळाले (ई), जे अनेक भौतिक आणि संगणकीय सूत्रांमध्ये वापरले जाते.

मला आशा आहे की या माहितीसह आपण या संख्या आणि त्यांच्या वैशिष्ट्यांबद्दल अधिक जाणून घेऊ शकता.