Stærðfræði hefur verið til frá upphafi. Ef trúa má uppgötvun Ishango beinsins (fyrir meira en 20.000 árum) gæti það hafa verið fyrsta sönnunin fyrir þekkingu á fyrstu frumtölum og margföldun, en efnið er enn umdeilt. Þó að stærðfræði sé enn ráðgáta fyrir mörg okkar, er það af sumum litið á hana sem frábæra leið til að skilja og greina heiminn. Í stærðfræði eru til fullkomnar tölurEitthvað sem margir vita ekki.
Í þessari grein ætlum við að segja þér allt sem þú þarft að vita um fullkomnar tölur og eiginleika þeirra.
hvað eru fullkomnar tölur
Fullkomnar tölur snúast allt um að finna Mersenne frumtölur. Reyndar segir staðhæfing 36 í IX. bók Euclid's Elements að ef Mersenne talan 2n – 1 er frumtala, þá er 2n-1 (2n – 1) fullkomin tala.
René Descartes staðfesti í bréfi til Mason að einhver slétt tala væri Euclid, en hann sannaði ekki kenningu sína. Þess í stað svissneski stærðfræðingurinn Leonhard Euler Hann var fyrstur til að sýna fram á kartesíska athugun. Samsetning niðurstaðna Euclid og Euler gerir kleift að fá fullkomna lýsingu á fullkomnu tölunum.
Fyrstu fjórar fullkomnu tölurnar hafa verið þekktar frá fornu fari. Þeir koma fram í verkum Nico Marcos de Graça og Theon de Smyrna. Fimmta fullkomna talan er nefnd í latneska kóðanum 1456. Sjötta og sjöunda fullkomna talan uppgötvaði Cataldi á XNUMX. öld, og sú áttunda eftir Euler árið 1772.
Svo snemma á fimmta áratugnum þekktum við fullkomnar 1950 tölur, en þökk sé GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), flýtti leitinni með sífellt flóknari tækni og tölvunotkun á tíunda áratugnum.
Til hvers eru þeir
Ef margir stærðfræðingar telja frumtölur vera undirstöðu reiknings, þá hafa fullkomnar tölur enga sérstaka notkun, þar sem þeir eru ekki notaðir til að leysa jöfnur, þátta eða fara inn á sviði dulmáls.
Í fornöld voru þeir taldir æðri, og einhver sá í því dulrænt hlutverk: "Sex sjálft er fullkomin tala, ekki vegna þess að Guð skapaði allt á sex dögum, heldur vegna þess að Guð skapaði allt á sex dögum vegna þess að talan er fullkomin" - Heilagur Ágústínus í Guðsborg (420 e.Kr.)
Þær eru ein af leyndardómum stærðfræðinnar og leitin að nýjum fullkomnum tölum heldur áfram að heilla marga stærðfræðinga.
Það eru miklar getgátur um fullkomnar tölur. Tilgáta er regla sem hefur aldrei verið sönnuð. Hér eru þrjár:
- Fullkomnar tölur Evklíðs eru allar sléttar tölur vegna þess að einn af þáttunum er veldi 2. En það eru engar vísbendingar sem sanna að það séu engar oddafullkomnar tölur;
- Allar þekktar fullkomnar tölur enda á 6 eða 28, en það er ekki alltaf raunin;
- Ekki hefur heldur verið sannað að það séu örugglega til óendanlega margar fullkomnar tölur.
hverjar eru fullkomnar tölur
Fullkomnar tölur eru sjaldgæfar. Þó að allir stærðfræðingar séu sammála um að þeir séu óendanlega margir (aldrei sannað), í dag vitum við aðeins 50 og við getum ekki einu sinni verið viss um að það sé ekki fullkomin meðaltala ófundin síðan 47.
Síðasta fullkomna talan fannst í janúar 2018. Uppgötvun nýs mjög stórs prímtals þýðir uppgötvun nýrrar fullkomnar tölu, sem er uppgötvun tölunnar 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.
Það eru aðeins þrjár fullkomnar tölur færri en 1000: 6, 28 og 496. Svo virðist sem jafnvel fullkomnar tölur enda á 6 eða 8, þó það hafi aldrei verið sannað, er það ekki alltaf raunin.
Jöfnu fullkomnu tölurnar í formúlunni 2n-1 (2n – 1) eru þríhyrndar (eða jafnvel sexhyrndar) tölur. Aftur á móti eru allar sléttar tölur nema fyrsta fullkomlega slétt tala summan af 2(n-1)/2 teningum af fyrstu oddatölunum. Til dæmis:
- 28 = 13+ 33,
- 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
- 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.
Fyrstu átta fullkomnu tölurnar eru:
- 6
- 28
- 496
- 8128
- 336
- 869.056
- 691.328
- 2 305 843 008 139 952 128.
Nokkur saga
Heilagur Ágústínus, einnig þekktur sem Ágústínus frá Hippo (354-430), fHann var rómverskur heimspekingur, rithöfundur, stærðfræðingur og prestur. Ef þú hefur lagt stund á heimspeki, þá er nafnið þér kunnugt, þar sem hann er einn af þeim heimspekingum sem vanalega rannsakar efnið. Eins og margir aðrir menntamenn á sínum tíma var heilagur Ágústínus einn þeirra sem þróaði og dýpkaði þekkingu á sviðum allt frá heimspeki til stærðfræði, með miklu meira að sjá en við getum ímyndað okkur í dag.
Jæja, Ágústínus frá Hippo sagði að fullkomnar tölur hefðu ástæðu til að vera til. Í verki sínu The City of God útskýrði hann að 6 væri fullkomið vegna þess að Guð skapaði heiminn á sex dögum. Næsta tala, 28, samsvarar fjölda daga sem það tekur tunglið að fara í kringum jörðina einu sinni. Þessi fullyrðing er ekki án ágreinings, tilviljun eða ekki?
Engar skýringar eru gefnar á næstu tveimur tölum. Þeir eru 496 og 8128. Fyrstu fjórar tölurnar voru uppgötvaðar strax á XNUMX. öld eftir Krist af Nicomachus frá Gerasa, heimspekingi og stærðfræðingi sem bjó í hinni fornu borg Decapolis, nú Jórdaníu, sem tilheyrði Rómaveldi.
Til að finna fimmtu fullkomna töluna þurftum við að taka stórt stökk í sögunni þar til við komum að fimmtándu öld, þar sem fimmta fullkomna talan 33 550 336 birtist í handritum frá þessari öld. Sjötti og sjöundi, 8.589.869.056 og 137.438.691.328, fundust öld síðar, árið 1588, af ítalska stærðfræðingnum Pietro Cataldi.
Eins og hinar fullkomnu tölur er aðeins endanlegur fjöldi Mersenne-talna þekktur. Númerin eru kennd við Marin Mason, maðurinn sem afhjúpaði röð tilgáta um þá. Mason var franskur heimspekingur, stærðfræðingur og prestur (1588-1648).
Það var Euler sem uppgötvaði þessar sérstöku tölur, þökk sé grunninum sem Mason lagði. Leonhard Paul Euler (1707-1783) var svissneskur stærðfræðingur og eðlisfræðingur. Auðvitað mun nafn hans þegar vera kunnugt þér, því að finna hina fullkomnu áttundu tölu var ekki eina afrek hans. Það fékk líka nafn sitt af númeri Eulers (e), sem er notað í mörgum eðlis- og reikniformúlum.
Ég vona að með þessum upplýsingum getið þið lært meira um þessar tölur og eiginleika þeirra.