perfekta siffror

Matematik har funnits sedan starten. Om man ska tro upptäckten av Ishango-benet (för över 20.000 XNUMX år sedan) kan det ha varit det första beviset på kunskap om de första primtalen och multiplikationen, men ämnet är fortfarande kontroversiellt. Även om matematik förblir ett mysterium för många av oss, ses det av vissa som ett utmärkt sätt att förstå och analysera världen. I matematik finns det perfekta siffrorNågot som många inte känner till.

I den här artikeln kommer vi att berätta allt du behöver veta om perfekta tal och deras egenskaper.

vad är perfekta siffror

Perfekta tal handlar om att hitta Mersenne-primtal. Faktum är att påstående 36 i bok IX av Euklids element säger att om Mersenne-talet 2n – 1 är primtal, så är 2n-1 (2n – 1) ett perfekt tal.

René Descartes bekräftade i ett brev till Mason att varje jämnt tal var Euklid, men han bevisade inte sin teori. Istället den schweiziske matematikern Leonhard Euler Han var den förste att demonstrera kartesisk observation. Kombinationen av resultaten av Euclid och Euler gör det möjligt att få en fullständig karaktärisering av de perfekta talen.

De första fyra perfekta talen har varit kända sedan urminnes tider. De förekommer i verk av Nico Marcos de Graça och Theon de Smyrna. Det femte perfekta talet nämns i den latinska koden från 1456. De sjätte och sjunde perfekta talen upptäcktes av Cataldi på XNUMX-talet, och den åttonde av Euler 1772.

Så i början av 1950-talet visste vi perfekta 12-tal, men tack vare GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) accelererade sökningen med allt mer sofistikerad teknik och användningen av datorer på 1990-talet.

Vad är de för

Om många matematiker anser att primtal är basen för aritmetik, så har perfekta tal ingen speciell användning, eftersom de inte används för att lösa ekvationer, faktorisera eller gå in i kryptografins område.

I gamla tider ansågs de vara överlägsna, och någon såg i det en mystisk roll: "Sex i sig är ett perfekt tal, inte för att Gud skapade allt på sex dagar, utan för att Gud skapade allt på sex dagar för att antalet är perfekt" - Saint Augustine i Guds stad (420 e.Kr.)

De är ett av matematikens mysterier, och sökandet efter nya perfekta tal fortsätter att fascinera många matematiker.

Det finns mycket gissningar om perfekta siffror. En gissning är en regel som aldrig har bevisats. Här är tre:

• Euklids perfekta tal är alla jämna tal eftersom en av faktorerna är en potens av 2. Men det finns inga bevis för att det inte finns några udda perfekta tal;
• Alla kända perfekta tal slutar på 6 eller 28, men detta är inte alltid fallet;
• Det har inte heller bevisats att det verkligen finns oändligt många perfekta tal.

vilka är de perfekta siffrorna

Perfekta siffror är sällsynta. Medan alla matematiker är överens om att det finns ett oändligt antal av dem (aldrig bevisat), idag vet vi bara 50 och vi kan inte ens vara säkra på att det inte finns ett perfekt medeltal oupptäckt sedan 47.

Det sista perfekta talet upptäcktes i januari 2018. Upptäckten av ett nytt mycket stort primtal betyder upptäckten av ett nytt perfekt tal, vilket är upptäckten av talet 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Det finns bara tre perfekta tal mindre än 1000: 6, 28 och 496. Tydligen slutar även perfekta tal på 6 eller 8, även om detta aldrig har bevisats, är det inte alltid fallet.

De jämna perfekta talen i formeln 2n-1 (2n – 1) är triangulära (eller till och med hexagonala) tal. Å andra sidan är alla jämna tal förutom det första helt jämna talet summan av 2(n-1)/2 kuber av de första udda talen. Till exempel:

• 28 1 =³+ 3³,
• 496 1 =³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 1 =³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

De första åtta perfekta talen är:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843 008 139 952 128.

En del historia

Saint Augustine, även känd som Augustinus av Hippo (354-430), fHan var en romersk filosof, författare, matematiker och präst. Om du har studerat ämnet filosofi kommer namnet att vara bekant för dig, eftersom han är en av filosoferna som vanligtvis studerar ämnet. Liksom många andra intellektuella på sin tid var Saint Augustine en av dem som utvecklade och fördjupade kunskaper inom områden som sträcker sig från filosofi till matematik, med mycket mer att se än vi kan föreställa oss idag.

Nåväl, Augustinus av Hippo sa att perfekta tal har en anledning att existera. I sitt verk The City of God förklarade han att 6 är perfekt eftersom Gud skapade världen på sex dagar. Nästa siffra, 28, motsvarar antalet dagar det tar för månen att gå runt jorden en gång. Detta uttalande är inte utan kontroverser, slump eller inte?

Ingen förklaring ges för de två följande siffrorna. De är 496 och 8128. De första fyra siffrorna upptäcktes redan på XNUMX:a århundradet e.Kr. av Nicomachus av Gerasa, en filosof och matematiker som bodde i den antika staden Decapolis, nu Jordanien, som tillhörde det romerska riket.

För att hitta det femte perfekta talet var vi tvungna att ta ett stort steg i historien tills vi nådde 33-talet, eftersom det femte perfekta talet 550 336 8.589.869.056 förekom i manuskript från detta århundrade. Den sjätte och sjunde, 137.438.691.328 1588 XNUMX XNUMX och XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX, upptäcktes ett sekel senare, XNUMX, av den italienske matematikern Pietro Cataldi.

Precis som de perfekta talen är bara ett ändligt antal Mersenne-tal kända. Numren är uppkallade efter Marin Mason, mannen som avslöjade en rad hypoteser om dem. Mason var en fransk filosof, matematiker och präst (1588-1648).

Det var Euler som upptäckte dessa speciella nummer, tack vare grunden som lades av Mason. Leonhard Paul Euler (1707-1783) var en schweizisk matematiker och fysiker. Naturligtvis kommer hans namn redan att vara bekant för dig, för att hitta det perfekta åttonde numret var inte hans enda prestation. Den fick också sitt namn från Eulers nummer (e), som används i många fysiska och beräkningsformler.

Jag hoppas att du med denna information kan lära dig mer om dessa siffror och deras egenskaper.