perfektné čísla

Matematika existuje od začiatku. Ak sa dá veriť objavu kosti Ishango (pred viac ako 20.000 XNUMX rokmi), možno to bol prvý dôkaz znalosti prvých prvočísel a násobenia, no téma zostáva kontroverzná. Hoci matematika zostáva pre mnohých z nás záhadou, niektorí ju považujú za skvelý spôsob, ako pochopiť a analyzovať svet. V matematike existujú perfektné číslaNiečo, čo veľa ľudí nevie.

V tomto článku vám povieme všetko, čo potrebujete vedieť o dokonalých číslach a ich charakteristikách.

čo sú dokonalé čísla

Perfektné čísla sú o hľadaní Mersennových prvočísel. V skutočnosti, výrok 36 knihy IX Euklidových prvkov hovorí, že ak je Mersennove číslo 2n – 1 prvočíslo, potom 2n-1 (2n – 1) je dokonalé číslo.

René Descartes v liste Masonovi potvrdil, že akékoľvek párne číslo bolo Euklides, ale svoju teóriu nepreukázal. Namiesto toho švajčiarsky matematik Leonhard Euler Ako prvý predviedol karteziánske pozorovanie. Kombinácia výsledkov Euklida a Eulera umožňuje získať kompletnú charakteristiku dokonalých čísel.

Prvé štyri dokonalé čísla sú známe už od staroveku. Objavujú sa v dielach Nica Marcosa de Graça a Theona de Smyrna. Piate dokonalé číslo sa spomína v latinskom zákonníku z roku 1456. Šieste a siedme dokonalé číslo objavil Cataldi v XNUMX. storočí, a ôsmy Euler v roku 1772.

Začiatkom 1950. rokov sme teda poznali perfektných 12 čísel, ale potom sa vďaka GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) vyhľadávanie zrýchlilo s čoraz sofistikovanejšou technológiou a používaním počítačov v 1990. rokoch.

Na čo slúžia

Ak mnohí matematici považujú prvočísla za základ aritmetiky, potom dokonalé čísla nemajú žiadny osobitný význam, pretože sa nepoužívajú na riešenie rovníc, faktor alebo vstup do oblasti kryptografie.

V dávnych dobách boli považovaní za nadradených a niekto v tom videl mystickú úlohu: „Samotná šestka je dokonalé číslo, nie preto, že Boh stvoril všetko za šesť dní, ale preto, že Boh stvoril všetko za šesť dní, pretože počet je dokonalý“ – Svätý Augustín v Božom meste (420 po Kr.)

Sú jednou zo záhad matematiky a hľadanie nových dokonalých čísel stále fascinuje mnohých matematikov.

Existuje veľa dohadov o dokonalých číslach. Dohad je pravidlo, ktoré nebolo nikdy dokázané. Tu sú tri:

• Euklidove dokonalé čísla sú všetky párne čísla, pretože jedným z faktorov je mocnina 2. Neexistuje však žiadny dôkaz, ktorý by dokázal, že neexistujú žiadne nepárne dokonalé čísla;
• Všetky známe dokonalé čísla končia na 6 alebo 28, ale nie vždy to tak je;
• Rovnako nebolo dokázané, že existuje skutočne nekonečne veľa dokonalých čísel.

aké sú dokonalé čísla

Dokonalé čísla sú zriedkavé. Zatiaľ čo všetci matematici súhlasia s tým, že ich je nekonečné množstvo (nikdy nie sú dokázané), dnes vieme len 50 a nemôžeme si byť istí ani tým, že od 47 neexistuje dokonalé stredné číslo.

Posledné dokonalé číslo bolo objavené v januári 2018. Objav nového veľmi veľkého prvočísla znamená objavenie nového dokonalého čísla, ktorým je objav čísla 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Existujú len tri dokonalé čísla menšie ako 1000: 6, 28 a 496. Zjavne aj dokonalé čísla končia na 6 alebo 8, hoci to nebolo nikdy dokázané, nie je to tak vždy.

Párne dokonalé čísla vo vzorci 2n-1 (2n – 1) sú trojuholníkové (alebo dokonca šesťuholníkové) čísla. Na druhej strane, všetky párne čísla okrem prvého dokonale párneho čísla sú súčtom 2(n-1)/2 kociek prvých nepárnych čísel. Napríklad:

• 28 1 =³+ 3³,
• 496 1 =³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 1 =³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

Prvých osem dokonalých čísel je:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843 008 139 952 128.

Niektoré histórie

Svätý Augustín, tiež známy ako Augustín z Hrocha (354-430), fBol to rímsky filozof, spisovateľ, matematik a kňaz. Ak ste študovali predmet filozofia, toto meno vám bude povedomé, keďže ide o jedného z filozofov, ktorí tento predmet zvyčajne študujú. Ako mnohí iní intelektuáli svojej doby, svätý Augustín bol jedným z tých, ktorí rozvíjali a prehlbovali vedomosti v oblastiach od filozofie po matematiku, pričom bolo možné vidieť oveľa viac, než si dnes dokážeme predstaviť.

Augustín z Hrocha povedal, že dokonalé čísla majú dôvod existovať. Vo svojom diele The City of God vysvetlil, že 6 je dokonalé, pretože Boh stvoril svet za šesť dní. Ďalšie číslo, 28, zodpovedá počtu dní, za ktoré Mesiac raz obehne Zem. Toto vyhlásenie nie je bez kontroverzie, náhoda alebo nie?

Pre nasledujúce dve čísla nie je uvedené žiadne vysvetlenie. Sú to 496 a 8128. Prvé štyri čísla objavil už v XNUMX. storočí nášho letopočtu Nicomachus z Gerasy, filozof a matematik, ktorý žil v starovekom meste Decapolis, dnešnom Jordánsku, ktoré patrilo Rímskej ríši.

Aby sme našli piate dokonalé číslo, museli sme urobiť veľký skok v histórii, kým sme sa nedostali do pätnásteho storočia, keďže piate dokonalé číslo 33 550 336 sa objavilo v rukopisoch z tohto storočia. Šiesty a siedmy, 8.589.869.056 137.438.691.328 1588 XNUMX a XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX, objavil o storočie neskôr, v roku XNUMX, taliansky matematik Pietro Cataldi.

Rovnako ako dokonalé čísla je známy iba konečný počet Mersennových čísel. Čísla sú pomenované po Marinovi Masonovi, muž, ktorý o nich odhalil sériu hypotéz. Mason bol francúzsky filozof, matematik a kňaz (1588-1648).

Práve Euler objavil tieto špeciálne čísla vďaka základom, ktoré položil Mason. Leonhard Paul Euler (1707-1783) bol švajčiarsky matematik a fyzik. Jeho meno vám už bude samozrejme povedomé, pretože nájsť perfektné ôsme číslo nebolo jeho jediným úspechom. Svoje meno dostal aj podľa Eulerovho čísla (e), ktorý sa používa v mnohých fyzikálnych a výpočtových vzorcoch.

Dúfam, že s týmito informáciami sa dozviete viac o týchto číslach a ich charakteristikách.