El αριθμός ε, ο αριθμός του Euler ή η γνωστή σταθερά Napier είναι ένας από τους πιο σχετικούς και σημαντικούς παράλογους αριθμούς στα πεδία των μαθηματικών και της άλγεβρας. Θεμελιώδης αριθμός σε εκθετική συνάρτηση που δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με φυσικό αριθμό. Αυτός ο αριθμός έχει μεγάλες εφαρμογές στον κόσμο των μαθηματικών.
Για αυτόν τον λόγο, θα αφιερώσουμε αυτό το άρθρο για να σας πούμε όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε για τον αριθμό e, τα χαρακτηριστικά και τη σημασία του.
τι είναι ο αριθμός ε
Είναι άρρητος αριθμός και δεν μπορούμε να γνωρίζουμε την ακριβή του τιμή γιατί έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία, άρα θεωρείται άρρητος αριθμός. Στα μαθηματικά, μπορούμε να ορίσουμε τον αριθμό e ως τη βάση μιας φυσικής εκθετικής συνάρτησης, μερικές φορές ονομάζεται βάση neper επειδή οι μαθηματικοί ήταν οι πρώτοι που το χρησιμοποίησαν.
Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παράλογος επειδή δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως λόγος δύο ακεραίων, ο δεκαδικός του αριθμός είναι άπειρος και είναι επίσης υπερβατικός αριθμός επειδή δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως η ρίζα μιας αλγεβρικής εξίσωσης με ορθολογικούς συντελεστές.
Κύρια χαρακτηριστικά
Μεταξύ των βασικών χαρακτηριστικών μπορούμε να αναφέρουμε τα ακόλουθα:
- Αυτός είναι ένας μη περιγραφικός αριθμός του οποίου οι αριθμοί δεν μπορούν να επαναλαμβάνονται τακτικά.
- Τα ψηφία του αριθμού e δεν ακολουθούν κανενός είδους μοτίβο.
- Συχνά ονομάζεται σταθερά του Napier ή αριθμός Euler.
- Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών.
- Δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με δύο ακέραιους αριθμούς.
- Δεν μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως ακριβής δεκαδικός αριθμός ή επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία.
Ο διάσημος και σημαντικός μαθηματικός Leonhard Euler, ένας από τους πιο παραγωγικούς μαθηματικούς όλων των εποχών, χρησιμοποίησε το σύμβολο e στη θεωρία των λογαρίθμων το 1727. Η σύμπτωση μεταξύ του πρώτου γράμματος του επωνύμου σας και του ονόματος του αριθμού μας είναι καθαρά συμπτωματική. Η πρώτη καταγραφή ή προσέγγιση του αριθμού e που βρέθηκε σε μαθηματικά έγγραφα χρονολογείται από το 1614, όταν δημοσιεύτηκε το Mirifici Logarithmorun Canonis του John Napier. Ωστόσο, η πρώτη προσέγγιση των αριθμών λήφθηκε από τον Jacob Bernoulli όταν έλυσε το πρόβλημα του μακροπρόθεσμου ενδιαφέροντος σε αρχικές σταθερές ποσότητες, γεγονός που τον οδήγησε να κατανοήσει και να μελετήσει το θεμελιώδες αλγεβρικό όριο και η τιμή του καθορίστηκε στο 2,7182818.
Ο Leonard Euler ήταν ο πρώτος που άρχισε να αναγνωρίζει αριθμούς με το τρέχον σύμβολο, το οποίο αντιστοιχεί στο γράμμα e, αλλά κατάφερε να το εισαγάγει περίπου 10 χρόνια αργότερα στη Μαθηματική Μηχανική του. Στην πραγματικότητα, ο αριθμός ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά από τον Leonhard Euler, αλλά ο άνθρωπος που το ανακάλυψε το 1614 ήταν ένας Σκωτσέζος ονόματι Τζον Νάπιερ. Χάρη στην ανακάλυψή του, ο πολλαπλασιασμός μπορεί να αντικατασταθεί από πρόσθεση, διαίρεση με αφαίρεση και πολλαπλασιασμό με γινόμενο, απλοποιώντας τη χειροκίνητη εκτέλεση των μαθηματικών υπολογισμών.
Ιδιότητες και εφαρμογές του αριθμού ε
Οι ακόλουθες ιδιότητες μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν ως ορισμοί του e.
- e είναι το άθροισμα των αντίστροφων των παραγοντικών.
- e είναι το όριο της γενικής ακολουθίας όρων.
- Η κλασματική επέκταση του e δεν έχει κανονικότητα, αλλά σε κανονικοποιημένα συνεχόμενα κλάσματα, μπορεί να υπάρχουν ή να μην υπάρχουν κανονικοποιημένα συνεχόμενα κλάσματα.
- Το ε είναι παράλογο και υπερβατικό.
Μερικές εφαρμογές στις οποίες μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτός ο αριθμός είναι οι ακόλουθες:
- στα οικονομικά, αυτή είναι στην πραγματικότητα η πρώτη περιοχή υπολογισμού του σύνθετου ενδιαφέροντος.
- Στη βιολογία, η ικανότητα περιγραφής της κυτταρικής ανάπτυξης είναι πολύ σημαντική.
- Η εκφόρτιση ενός πυκνωτή περιγράφεται στα ηλεκτρονικά.
- Περιγράφει την ανάπτυξη ιοντικών συγκεντρώσεων ή αντιδράσεων στον τομέα της χημείας.
- Διαχείριση μιγαδικών αριθμών, κυρίως τύπου Euler.
- Carbon 14 χρονολόγηση απολιθωμάτων στην παλαιοντολογία.
- Μετρήστε την απώλεια θερμότητας από αδρανή αντικείμενα στην ιατροδικαστική για να προσδιορίσετε τον χρόνο θανάτου.
- Στη στατιστική, θεωρία πιθανοτήτων και εκθετικές συναρτήσεις
- Σε χρυσή τομή και λογαριθμική σπείρα.
Επειδή εμφανίζεται σε εκθετικές συναρτήσεις που προσομοιώνουν την ανάπτυξη, η παρουσία του είναι σημαντική όταν μελετάμε την ταχεία ανάπτυξη ή παρακμή, όπως π.χ. βακτηριακούς πληθυσμούς, εξάπλωση ασθενειών ή ραδιενεργή αποσύνθεση, και είναι επίσης χρήσιμο στη χρονολόγηση απολιθωμάτων.
Σημασία και περιέργεια
Ο αριθμός e είναι περίπου ισοδύναμος με 2.71828 και συνήθως γράφεται ως ≈2718. Αυτός ο αριθμός είναι πολύ σημαντικός στα μαθηματικά και σε πολλούς άλλους τομείς που σχετίζονται με την παραγωγή, την επιστήμη και την καθημερινή ζωή. Αυτός ο αριθμός παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στον τομέα του λογισμού. και αποτελεί μέρος πολλών θεμελιωδών αποτελεσμάτων όπως όρια, παράγωγοι, ολοκληρώματα, σειρές κ.λπ. Επιπλέον, έχει ένα σύνολο ιδιοτήτων που επιτρέπουν τη χρήση του για τον ορισμό εκφράσεων που έχουν σημαντικές εφαρμογές σε πολλούς τομείς της ανθρώπινης γνώσης.
Μερικά περίεργα που σχετίζονται με τον αριθμό ε είναι τα ακόλουθα:
- Ο αριθμός e χρησιμεύει ως βάση του φυσικού ή φυσικού λογαριθμικού συστήματος.
- Ο αριθμός αντιπροσωπεύεται από lnx = t, όπου x είναι θετικός πραγματικός αριθμός, t είναι θετικός για x>1 και αρνητικός για x <1.
- Υπάρχει στον ορισμό μιας συνάρτησης y(x) = ex ή y(x) = exp(x) της οποίας το σύνολο επιτρεπόμενων τιμών CVA είναι το σύνολο R όλων των πραγματικών αριθμών.
Κάποιο ιστορικό
Η πρώτη έμμεση αναφορά σε αυτόν τον αριθμό εμφανίζεται στο περίφημο έργο του John Napier του 1614, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, στο οποίο επεξεργάζονται για πρώτη φορά οι ιδέες του για τους λογάριθμους, τους αντιλογάριθμους, τα αποτελέσματα και τους πίνακες υπολογισμού τους. Ωστόσο, ο Jacob Bernoulli θα λάβει την πρώτη προσέγγιση με την επίλυση του προβλήματος του αρχικού σταθερού ποσού των μακροπρόθεσμων τόκων, το οποίο σας οδηγεί στο γνωστό πλέον όριο μετά από διαδοχικές επαναλήψεις.
Ορίστε την τιμή του σε 2,7182818. Ο μαθηματικός και φιλόσοφος Gottfried Leibniz εκμεταλλεύτηκε αργότερα αυτή την αξία σε επιστολές προς τον Christian Huygens το 1690 και το 1691, δηλώνοντάς τη με το γράμμα b. Ο Leonard Euler άρχισε να ταυτίζει τους αριθμούς το 1727 με το σημερινό σύμβολο, το γράμμα e, αλλά μόλις μια δεκαετία αργότερα εισήγαγε τον αριθμό στη μαθηματική κοινότητα στο βιβλίο του Mechanics.
Οι μεταγενέστεροι ειδικοί θα χρησιμοποιούσαν τα a, b, c και e μέχρι να κερδίσει το τελευταίο για παράλογους αριθμούς. Ο Charles Hermite απέδειξε ότι αυτός ήταν ένας σημαντικός αριθμός το 1873. Η προσέγγισή τους ξεκίνησε με το έργο του Μπερνούλι, στη συνέχεια ο Όιλερ έκανε μια προσέγγιση 18 θέσεων μετά το κόμμα, έτσι παρήγαγαν, καθώς για τον προσδιορισμό της θέσης του pi, η τελευταία έκδοση ενός διαγωνισμού ήταν το 2010 που καθορίστηκαν οι Shigeru Kondo και Alexander J. Yee e έως ένα δισεκατομμύριο ακριβή δεκαδικά ψηφία.
Ελπίζω ότι με αυτές τις πληροφορίες μπορείτε να μάθετε περισσότερα για τον αριθμό e και τα χαρακτηριστικά του.