Математика існує з самого початку. Якщо вірити відкриттю кістки Ішанго (понад 20.000 XNUMX років тому), це, можливо, було першим доказом знання перших простих чисел і множення, але тема залишається спірною. Хоча математика для багатьох із нас залишається загадкою, деякі вважають її чудовим способом зрозуміти та проаналізувати світ. В математиці є ідеальні числаТе, чого багато людей не знають.
У цій статті ми збираємося розповісти вам все, що вам потрібно знати про ідеальні числа та їх характеристики.
що таке ідеальні числа
Ідеальні числа – це пошук простих чисел Мерсенна. Насправді, твердження 36 книги IX Елементів Евкліда говорить, що якщо число Мерсенна 2n – 1 є простим, то 2n-1 (2n – 1) є досконалим числом.
Рене Декарт у листі до Мейсона підтвердив, що будь-яке парне число є Евклідом, але він не довів своєї теорії. Натомість швейцарський математик Леонард Ейлер Він першим продемонстрував картезіанське спостереження. Поєднання результатів Евкліда і Ейлера дозволяє отримати повну характеристику досконалих чисел.
Перші чотири досконалих числа відомі з давніх часів. Вони з'являються в роботах Ніко Маркоса де Граса і Теона де Смірни. П'яте досконале число згадується в латинському кодексі 1456 року. Шосте і сьоме досконале числа були відкриті Катальді в XNUMX столітті, і восьмий Ейлером у 1772 році.
Тож на початку 1950-х ми знали ідеальні 12 чисел, але потім завдяки GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) пошук прискорився завдяки все більш складним технологіям і використанням комп’ютерів у 1990-х роках.
Для чого вони потрібні
Якщо багато математиків вважають прості числа основою арифметики, то ідеальні числа не мають особливої користі, оскільки вони не використовуються для розв’язування рівнянь, факторів чи введення в сферу криптографії.
У давнину їх вважали вищими, і хтось бачив у цьому містичну роль: «Шість саме по собі є досконалим числом не тому, що Бог створив усе за шість днів, а тому, що Бог створив усе за шість днів, тому що число досконале» – Святий Августин у місті Божому (420 р. н.е.)
Вони є однією із загадок математики, і пошук нових досконалих чисел продовжує захоплювати багатьох математиків.
Існує багато здогадок щодо ідеальних чисел. Гіпотеза – це правило, яке ніколи не було доведено. Ось три:
- Ідеальні числа Евкліда всі парні числа, оскільки один із множників є степенем 2. Але немає доказів того, що непарних досконалих чисел немає;
- Усі відомі досконалі числа закінчуються на 6 або 28, але це не завжди так;
- Також не було доведено, що існує нескінченна кількість досконалих чисел.
які ідеальні числа
Ідеальні числа зустрічаються рідко. Хоча всі математики погоджуються, що їх існує нескінченна кількість (ніколи не доведено), Сьогодні ми знаємо лише 50, і ми навіть не можемо бути впевненими, що не існує ідеального середнього числа, яке не було виявлено після 47.
Останнє досконале число було відкрито в січні 2018 року. Відкриття нового дуже великого простого означає відкриття нового ідеального числа, яке є відкриттям числа 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.
Є лише три досконалих числа, менших за 1000: 6, 28 і 496. Мабуть, навіть ідеальні числа закінчуються на 6 або 8, хоча це ніколи не було доведено, але це не завжди так.
Парні досконалі числа у формулі 2n-1 (2n – 1) є трикутними (або навіть шестикутними) числами. З іншого боку, усі парні числа, крім першого абсолютно парного числа, є сумою 2(n-1)/2 кубів перших непарних чисел. Наприклад:
- 28 = 13+ 33,
- 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
- 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.
Перші вісім досконалих чисел:
- 6
- 28
- 496
- 8128
- 336
- 869.056
- 691.328
- 2 305 843 008 139 952 128.
Якась історія
Святий Августин, також відомий як Августин Бегемот (354-430), фВін був римським філософом, письменником, математиком і священиком. Якщо ви вивчали предмет філософії, ім'я буде вам знайоме, оскільки він є одним із філософів, які зазвичай вивчають цю тему. Як і багато інших інтелектуалів свого часу, святий Августин був одним із тих, хто розвивав і поглиблював знання в галузях, починаючи від філософії і закінчуючи математикою, і мав набагато більше, ніж ми можемо собі уявити сьогодні.
Ну, Августин Бегемотський сказав, що ідеальні числа мають підстави існувати. У своїй роботі «Місто Бога» він пояснив, що 6 є досконалим, оскільки Бог створив світ за шість днів. Наступне число, 28, відповідає кількості днів, протягом яких Місяць один раз обійшов Землю. Це твердження не позбавлене суперечок, випадковість чи ні?
Пояснення щодо двох наступних чисел не дається. Це 496 і 8128. Перші чотири числа були відкриті ще в XNUMX столітті нашої ери Нікомахом з Гераси, філософом і математиком, який жив у стародавньому місті Декаполіс, нині Йордан, що належало Римській імперії.
Щоб знайти п’яте досконале число, нам довелося зробити великий ривок в історії, поки ми не досягли п’ятнадцятого століття, оскільки п’яте досконале число 33 550 336 з’явилося в рукописах цього століття. Шостий і сьомий, 8.589.869.056 137.438.691.328 1588 XNUMX і XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX, були відкриті століттям пізніше, в XNUMX році, італійським математиком П'єтро Катальді.
Як і ідеальні числа, відомо лише скінченну кількість чисел Мерсенна. Цифри названі на честь Маріна Мейсона, людина, яка висунула про них низку гіпотез. Мейсон — французький філософ, математик і священик (1588-1648).
Саме Ейлер відкрив ці особливі числа завдяки закладеному Мейсоном фундаменту. Леонард Пауль Ейлер (1707—1783) — швейцарський математик і фізик. Звичайно, його ім’я вам вже буде знайоме, адже знайти ідеальне восьме число було не єдиним його досягненням. Він також отримав свою назву від числа Ейлера (e), який використовується в багатьох фізичних і обчислювальних формулах.
Сподіваюся, що за допомогою цієї інформації ви зможете дізнатися більше про ці цифри та їх характеристики.