mükemmel sayılar

Matematik başlangıçtan beri var olmuştur. Ishango kemiğinin (20.000 yıldan fazla bir süre önce) keşfine inanılacak olursa, bu ilk asal sayılar ve çarpma bilgisinin ilk kanıtı olabilir, ancak konu tartışmalıdır. Matematik çoğumuz için bir gizem olarak kalırken, bazıları tarafından dünyayı anlamanın ve analiz etmenin harika bir yolu olarak görülüyor. matematikte var mükemmel sayılarBirçok insanın bilmediği bir şey.

Bu yazıda size mükemmel sayılar ve özellikleri hakkında bilmeniz gereken her şeyi anlatacağız.

mükemmel sayılar nelerdir

Mükemmel sayılar tamamen Mersenne asal sayılarını bulmakla ilgilidir. Aslında, Öklid'in Elemanları Kitabı IX'un 36. Önermesi, Mersenne sayısı 2n – 1 asal ise, o zaman 2n-1 (2n – 1) mükemmel bir sayıdır der.

René Descartes, Mason'a yazdığı bir mektupta herhangi bir çift sayının Öklid olduğunu doğruladı, ancak teorisini kanıtlamadı. Bunun yerine, İsviçreli matematikçi Leonhard Euler Kartezyen gözlemi ilk gösteren o oldu. Euclid ve Euler sonuçlarının kombinasyonu, mükemmel sayıların tam bir karakterizasyonunu elde etmeyi sağlar.

İlk dört mükemmel sayı eski zamanlardan beri bilinmektedir. Nico Marcos de Graça ve Theon de Smyrna'nın eserlerinde görünürler. Beşinci mükemmel sayı 1456 Latin Kodunda belirtilmiştir. Altıncı ve yedinci mükemmel sayılar XNUMX. yüzyılda Cataldi tarafından keşfedilmiştir, ve sekizincisi 1772'de Euler tarafından.

Böylece 1950'lerin başında mükemmel 12 sayıyı biliyorduk, ancak daha sonra GIMPS (Büyük İnternet Mersenne Prime Search) sayesinde, arama giderek daha karmaşık teknoloji ve 1990'larda bilgisayarların kullanımı ile hızlandı.

Onlar ne için

Pek çok matematikçi, asal sayıların aritmetiğin temeli olduğunu düşünüyorsa, o zaman mükemmel sayıların özel bir anlamı yoktur. çünkü denklemleri çözmek, çarpanlara ayırmak veya kriptografi alanına girmek için kullanılmazlar.

Eski zamanlarda, üstün kabul edildiler ve biri onda mistik bir rol gördü: "Altı kendisi mükemmel bir sayıdır, çünkü Tanrı her şeyi altı günde yarattığı için değil, sayı mükemmel olduğu için Tanrı her şeyi altı günde yarattığı için" – Tanrı'nın Şehri'ndeki Aziz Augustine (MS 420)

Bunlar matematiğin gizemlerinden biridir ve yeni mükemmel sayılar arayışı birçok matematikçiyi büyülemeye devam etmektedir.

Mükemmel sayılar hakkında çok fazla tahmin var. Bir varsayım, asla kanıtlanmamış bir kuraldır. İşte üç:

• Öklid'in mükemmel sayıları Hepsi çift sayıdır çünkü çarpanlardan biri 2'nin kuvvetidir. Ancak tek mükemmel sayıların olmadığını kanıtlayacak hiçbir kanıt yoktur;
• Bilinen tüm mükemmel sayılar 6 veya 28 ile biter, ancak bu her zaman böyle değildir;
• Aslında sonsuz sayıda mükemmel sayı olduğu da kanıtlanmadı.

mükemmel sayılar nelerdir

Mükemmel sayılar nadirdir. Tüm matematikçiler sonsuz sayıda (hiç kanıtlanmamış) olduğu konusunda hemfikir olsalar da, bugün sadece 50 tane biliyoruz ve 47'den beri keşfedilmemiş mükemmel bir ortalama sayı olmadığından bile emin olamıyoruz.

Son mükemmel sayı Ocak 2018'de keşfedildi. Yeni bir çok büyük asal sayının keşfi, yeni bir mükemmel sayının keşfi anlamına geliyor, yani 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 sayısının keşfi.

1000'den küçük sadece üç mükemmel sayı vardır: 6, 28 ve 496. Görünüşe göre mükemmel sayılar bile 6 veya 8 ile bitiyor, bu asla kanıtlanmamasına rağmen, her zaman böyle değil.

2n-1 (2n – 1) formülündeki çift mükemmel sayılar üçgen (hatta altıgen) sayılardır. Öte yandan, ilk tam çift sayı dışındaki tüm çift sayılar, ilk tek sayıların 2(n-1)/2 küpünün toplamıdır. Örneğin:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

İlk sekiz mükemmel sayı:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843.

Bazı tarih

Hippo'lu Augustine (354-430) olarak da bilinen Saint Augustine, fRomalı bir filozof, yazar, matematikçi ve rahipti. Felsefe konusunu incelediyseniz, genellikle konuyu inceleyen filozoflardan biri olduğu için adı size tanıdık gelecektir. Zamanının diğer birçok entelektüeli gibi, Saint Augustine de felsefeden matematiğe kadar uzanan alanlarda, bugün hayal edebileceğimizden çok daha fazla bilgiyi geliştiren ve derinleştirenlerden biriydi.

Hippo'lu Augustine, mükemmel sayıların var olmak için bir nedeni olduğunu söyledi. Tanrı Şehri adlı eserinde, 6'nın mükemmel olduğunu, çünkü Tanrı'nın dünyayı altı günde yarattığını açıkladı. Bir sonraki sayı olan 28, Ay'ın Dünya'yı bir kez dolaşması için geçen gün sayısına karşılık gelir. Bu ifade tartışmasız, tesadüf mü yoksa değil mi?

Sonraki iki sayı için açıklama yapılmadı. 496 ve 8128. İlk dört sayı, MS XNUMX. yüzyılın başlarında, Roma İmparatorluğu'na ait olan, şimdi Ürdün olan antik Decapolis kentinde yaşayan bir filozof ve matematikçi olan Gerasalı Nicomachus tarafından keşfedildi.

Beşinci mükemmel sayıyı bulmak için, on beşinci yüzyıla ulaşana kadar tarihte büyük bir adım atmamız gerekiyordu, çünkü beşinci mükemmel sayı 33 550 336 bu yüzyıldaki el yazmalarında yer aldı. Altıncı ve yedinci, 8.589.869.056 ve 137.438.691.328, bir yüzyıl sonra, 1588'de İtalyan matematikçi Pietro Cataldi tarafından keşfedildi.

Mükemmel sayılar gibi, yalnızca sonlu sayıda Mersenne sayısı bilinmektedir. Rakamlar Marin Mason'ın adını taşıyor. onlar hakkında bir dizi hipotezi ifşa eden adam. Mason bir Fransız filozof, matematikçi ve rahipti (1588-1648).

Mason'un attığı temel sayesinde bu özel sayıları keşfeden Euler oldu. Leonhard Paul Euler (1707-1783), İsviçreli bir matematikçi ve fizikçiydi. Tabii ki, adı size zaten tanıdık gelecektir, çünkü mükemmel sekizinci sayıyı bulmak onun tek başarısı değildi. Adını da Euler sayısından (e) almıştır. birçok fiziksel ve hesaplama formülünde kullanılır.

Umarım bu bilgilerle bu sayılar ve özellikleri hakkında daha fazla bilgi edinebilirsiniz.