В топологии, разделе математики, бутылка Клейна является примером неориентируемой поверхности. Это двумерное многообразие, для которого нельзя последовательно определить систему для определения векторов нормалей. Неформально это односторонняя поверхность, по которой, если пройти ее, можно вернуться к исходной точке, когда путешественник поворачивается.
В этой статье мы расскажем вам все, что вам нужно знать о бутылке Кляйна, ее характеристиках и курьезах.
Características principales
Другие связанные неориентируемые объекты включают ленты Мёбиуса и истинные проекционные плоскости. Ленты Мёбиуса представляют собой ограниченные поверхности, а бутылки Клейна не имеют границ. Для сравнения, сфера — бесконечно ориентируемая поверхность. Бутылка Клейна была впервые описана в 1882 году немецким математиком Феликсом Кляйном.
Коллекция выдутых вручную стеклянных бутылок Кляйна выставлена в Музее науки в Лондоне и демонстрирует множество вариаций на эту топологическую тему. Бутылки датируются 1995 годом и были изготовлены Аланом Беннеттом для музея.
Сама бутылка Клейна не пересекается. Однако, есть способ визуализировать содержащуюся в ней бутылку Клейна в четырех измерениях. Самопересечения можно удалить, добавив четвертое измерение в трехмерное пространство. Аккуратно вытолкните секцию трубы, содержащую пересечение, из исходного трехмерного пространства вдоль четвертого измерения. Полезной аналогией является рассмотрение кривой, пересекающей плоскость. Самопересечения можно удалить, приподняв нити над плоскостью.
Чтобы пояснить, предположим, что мы принимаем время как четвертое измерение. Рассмотрим, как построить график в пространстве xyzt. Прилагаемый рисунок («Эволюция с течением времени…») показывает полезную эволюцию этой фигуры. При t = 0 стена прорастает где-то рядом с «перекрестком». После того, как фигура увеличилась, первая часть стены начала отступать, исчезая, как Чеширский кот, но оставив свою широкую улыбку. Когда фронт роста достигает того места, где находится побег, пересекать нечего, и рост завершается, не пробивая существующую структуру.
Свойства бутылки Клейна
Колба Клейна представляет собой неориентируемую поверхность, которую часто изображают в виде длинногорлой колбы с изогнутой горловиной, которая проходит изнутри и открывается в качестве основания. Уникальная форма бутылки Клейна означает, что у нее только одна поверхность: внутренняя часть равна внешней. Бутылка Клейна на самом деле не может существовать в трехмерном евклидовом пространстве, но ее представление с помощью стеклодува может дать нам некоторые интересные идеи. Это не настоящая бутылка Клейна, но это помогает визуализировать то, что представлял себе немецкий математик Феликс Клейн, когда придумал идею бутылки Клейна.
Если символ прикреплен к ориентируемой поверхности, например к внешней стороне сферы, он сохранит ту же ориентацию независимо от того, как вы его перемещаете. Специальная форма бутылки Кляйна позволяет двигать символ в разных направлениях: он может появиться как зеркальное отражение самого себя на той же поверхности. Это свойство бутылки Клейна делает невозможным ее ориентирование.
Бутылка Клейна названа в честь немецкого математика Феликса Кляйна. Работа Феликса Кляйна в области математики познакомила его с лентами Мёбиуса. Лента Мёбиуса — это лист бумаги, повернутый на пол-оборота и соединенный встык. Этот поворот превращает обычный лист бумаги в неориентируемую поверхность. Феликс Клейн рассудил, что если он соединит две ленты Мёбиуса вдоль их краев, то создаст новый тип поверхности с такими же странными свойствами: поверхность Клейна или бутылку Клейна.
Бутылка Клейна описывается как неориентируемая поверхность, потому что, если символ прикреплен к поверхности, он может скользить таким образом, что может вернуться в то же положение, что и зеркальное отражение.
Можно ли сделать бутылку Кляйна в реальной жизни?
К сожалению для тех из нас, кто хочет увидеть настоящие бутылки Кляйна, их нельзя построить в трехмерном евклидовом пространстве, в котором мы живем. Соедините края двух лент Мебиуса, чтобы построить колбу Клейна. он создает пересечения, которых нет в теоретических моделях. Настоящая модель бутылки Кляйна должна была перевернуться, когда горлышко оторвалось от края. Это дает нам то, что на самом деле не является функциональной бутылкой Кляйна, но все же интересно исследовать.
Поскольку колбы Клейна обладают многими общими свойствами с лентами Мёбиуса, те из нас, кто не имеет глубоких познаний в математике, чтобы по-настоящему понять тонкости работы с колбами Клейна, могут попробовать ленты Мебиуса Феликса Кляйна. Увлекательная находка.
Поверхность Клейна
Клиффорд Столл — человек, стоящий за дизайном этой гигантской бутылки Клейна, высота которой составляет 106 см, ширина — 62,2 см, а окружность — 163,5 см. Он был построен компанией Kildee Scientific Glass в период с 2001 по 2003 год.
Первоначальное название объекта было не Klein Flask (нем. Kleinsche Flasche), а Klein Surface (нем. Kleinsche Fläche). В переводе первого объекта ведения с немецкого на английский перепутаны слова. Из-за внешнего вида 3D-рендеринга, напоминающего бутылку, баг почти никто не заметил.
Если мы разделим бутылку Клейна пополам вдоль ее плоскости симметрии, мы создадим две ленты Мёбиуса, каждая из которых будет зеркальным отражением другой (как если бы одна смотрела в зеркало). Потом, бутылка Клейна является примером неориентируемой поверхности, как лента Мёбиуса. У него нет другой функции, кроме как представлять его. Ориентируемые или неориентируемые поверхности являются топологическими понятиями. Обе являются примерами односторонних поверхностей, поскольку они не ориентируемые. Его волшебство заключается в возможности покрыть его полностью и полностью непрерывно, покрывая все точки, которые его образуют.
Я надеюсь, что с помощью этой информации вы сможете больше узнать о бутылке Кляйна и ее характеристиках.