Na topologia, um ramo da matemática, garrafa de klein é um exemplo de uma superfície não orientável. É uma variedade bidimensional para a qual um sistema não pode ser definido consistentemente para determinar os vetores normais. Informalmente, trata-se de uma superfície unilateral que, se ultrapassada, pode ser seguida de volta à origem à medida que o viajante se vira.
Neste artigo vamos contar tudo o que você precisa saber sobre a garrafa de Klein, suas características e curiosidades.
Características principais
Outros objetos não orientáveis relacionados incluem tiras de Möbius e planos de projeção verdadeiros. As tiras de Mobius são superfícies limitadas, enquanto as garrafas de Klein não têm limites. Em comparação, uma esfera é uma superfície infinitamente orientável. A garrafa de Klein foi descrita pela primeira vez em 1882 pelo matemático alemão Felix Klein.
Uma coleção de garrafas de vidro de Klein sopradas à mão está em exibição no Museu da Ciência em Londres, mostrando muitas variações desse tema topológico. As garrafas datam de 1995 e foram feitas por Alan Bennett para o museu.
A garrafa de Klein em si não é cruzada. Porém, existe uma maneira de visualizar a garrafa de Klein contida em quatro dimensões. As auto-interseções podem ser removidas adicionando uma quarta dimensão no espaço tridimensional. Empurre suavemente uma seção de tubo contendo a interseção para fora do espaço 3D original ao longo da quarta dimensão. Uma analogia útil é considerar uma curva cruzando um plano. As auto-interseções podem ser removidas levantando as roscas do plano.
Para esclarecer, digamos que tomemos o tempo como a quarta dimensão. Considere como construir um gráfico no espaço xyzt. A figura em anexo (“Evolução ao longo do tempo...”) mostra uma evolução útil desta figura. Em t = 0, a parede brota em algum lugar perto da "intersecção". Depois que a figura cresceu, a primeira parte da parede começou a recuar, desaparecendo como um gato de Cheshire, mas deixando para trás seu sorriso largo. Quando a frente de crescimento atinge onde está o broto, não há nada para atravessar e o crescimento é completo sem perfurar a estrutura existente.
Propriedades da garrafa de Klein
Um frasco de Klein é uma superfície não orientável que é frequentemente descrita como um frasco de gargalo longo com um gargalo curvo que é passado de dentro para abrir como base. A forma única da garrafa de Klein significa que ela tem apenas uma superfície: o interior é igual ao exterior. Uma garrafa de Klein não pode realmente existir no espaço euclidiano tridimensional, mas uma representação de vidro soprado pode nos dar alguns insights interessantes. Esta não é uma garrafa de klein real, mas ajuda a visualizar o que o matemático alemão Felix Klein imaginou quando teve a ideia da garrafa de Klein.
Se o símbolo estiver anexado a uma superfície orientável, como a parte externa de uma esfera, ele manterá a mesma orientação, não importa como você o mova. A forma especial da garrafa de Klein permite que você deslize o símbolo em diferentes direções: ele pode aparecer como uma imagem espelhada de si mesmo na mesma superfície. Esta propriedade da garrafa de Klein torna impossível orientá-la.
A garrafa de Klein tem o nome do matemático alemão Felix Klein. O trabalho de Felix Klein em matemática o tornou muito familiarizado com as tiras de Möbius. Uma tira de Möbius é uma folha de papel que é girada meia volta e conectada de ponta a ponta. Essa torção transforma uma folha de papel comum em uma superfície não orientável. Felix Klein raciocinou que se ele juntasse duas tiras de Möbius ao longo de suas bordas, ele criaria um novo tipo de superfície com as mesmas propriedades estranhas: uma superfície de Klein ou uma garrafa de Klein.
A garrafa de Klein é descrita como uma superfície não orientável porque, se um símbolo estiver preso à superfície, ele pode deslizar de tal forma que pode retornar à mesma posição de uma imagem espelhada.
Uma garrafa de Klein pode ser feita na vida real?
Infelizmente para aqueles de nós que querem ver garrafas de Klein reais, elas não podem ser construídas no espaço euclidiano tridimensional em que vivemos. Conecte as bordas de duas tiras de Möbius para construir um frasco de Klein cria interseções que não existem em modelos teóricos. O modelo real da garrafa de Klein teve que passar por cima de si mesmo quando o gargalo saiu do lado. Isso nos dá algo que não é realmente uma garrafa de Klein funcional, mas ainda é divertido de examinar.
Como os frascos de Klein compartilham muitas propriedades estranhas com as tiras de Möbius, aqueles de nós que não têm uma compreensão profunda da matemática para realmente entender as complexidades dos frascos de Klein podem experimentar as tiras de Moebius de Felix Klein.
superfície de Klein
Clifford Stoll é o homem por trás do design desta garrafa gigante de Klein, que mede 106 cm de altura, 62,2 cm de largura e 163,5 cm de circunferência. Foi construído pela Kildee Scientific Glass entre 2001 e 2003.
O nome original do objeto não era Klein Flask (alemão Kleinsche Flasche), mas Klein Surface (alemão Kleinsche Fläche). A tradução do primeiro objeto de referência do alemão para o inglês confundiu as palavras. Devido à aparência da renderização 3D que lembra uma garrafa, quase ninguém notou o bug.
Se dividirmos a garrafa de Klein em duas ao longo de seu plano de simetria, criamos duas tiras de Möbius, cada uma das quais é uma imagem espelhada da outra (como se estivesse olhando no espelho). Então, uma garrafa de Klein é um exemplo de superfície não orientável, como é uma tira de Möbius. Não tem outra função senão representá-lo. Superfícies orientáveis ou não orientáveis são conceitos topológicos. Ambos são exemplos de superfícies unilaterais, pois não são orientáveis. A sua magia está em poder cobri-lo completamente de forma totalmente contínua, cobrindo todos os pontos que o formam.
Espero que com essas informações você possa conhecer mais sobre a garrafa de Klein e suas características.