perfecte getallen

Wiskunde bestaat al vanaf het begin. Als we de ontdekking van het Ishango-bot (meer dan 20.000 jaar geleden) moeten geloven, was dit misschien het eerste bewijs van kennis van de eerste priemgetallen en vermenigvuldiging, maar het onderwerp blijft controversieel. Hoewel wiskunde voor velen van ons een mysterie blijft, wordt het door sommigen gezien als een geweldige manier om de wereld te begrijpen en te analyseren. In de wiskunde zijn er perfecte getallenIets wat veel mensen niet weten.

In dit artikel gaan we je alles vertellen wat je moet weten over perfecte getallen en hun kenmerken.

wat zijn perfecte getallen?

Perfecte getallen hebben alles te maken met het vinden van Mersenne-priemgetallen. Propositie 36 van Boek IX van Euclid's Elements zegt zelfs dat als het Mersenne-getal 2n – 1 een priemgetal is, dan is 2n-1 (2n – 1) een perfect getal.

René Descartes bevestigde in een brief aan Mason dat elk even getal Euclides was, maar hij bewees zijn theorie niet. In plaats daarvan heeft de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler Hij was de eerste die cartesiaanse observatie demonstreerde. De combinatie van de resultaten van Euclid en Euler maakt het mogelijk om een ​​volledige karakterisering van de perfecte getallen te verkrijgen.

De eerste vier perfecte getallen zijn al sinds de oudheid bekend. Ze verschijnen in de werken van Nico Marcos de Graça en Theon de Smyrna. Het vijfde volmaakte getal wordt genoemd in de Latijnse Code van 1456. Het zesde en zevende volmaakte getal werden ontdekt door Cataldi in de XNUMXe eeuw, en de achtste door Euler in 1772.

Dus in het begin van de jaren vijftig kenden we perfecte 1950 getallen, maar dankzij GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) versnelde het zoeken met de steeds geavanceerdere technologie en het gebruik van computers in de jaren negentig.

Waar zijn die voor

Als veel wiskundigen priemgetallen als de basis van rekenen beschouwen, dan hebben perfecte getallen geen bijzonder nut, omdat ze niet worden gebruikt om vergelijkingen op te lossen, factoren te bepalen of het domein van cryptografie te betreden.

In de oudheid werden ze als superieur beschouwd en iemand zag er een mystieke rol in: "Zes zelf is een perfect getal, niet omdat God alles in zes dagen schiep, maar omdat God alles in zes dagen schiep omdat het getal perfect is" - Sint-Augustinus in de stad van God (420 na Christus)

Ze zijn een van de mysteries van de wiskunde en de zoektocht naar nieuwe perfecte getallen blijft veel wiskundigen fascineren.

Er is veel giswerk over perfecte getallen. Een vermoeden is een regel die nooit is bewezen. Hier zijn er drie:

• De perfecte getallen van Euclides zijn allemaal even getallen omdat een van de factoren een macht van 2 is. Maar er is geen bewijs om te bewijzen dat er geen oneven perfecte getallen zijn;
• Alle bekende perfecte getallen eindigen op 6 of 28, maar dit is niet altijd het geval;
• Ook is niet bewezen dat er inderdaad oneindig veel perfecte getallen zijn.

wat zijn de perfecte cijfers?

Perfecte getallen zijn zeldzaam. Hoewel alle wiskundigen het erover eens zijn dat er een oneindig aantal van zijn (nooit bewezen), vandaag kennen we er maar 50 en we kunnen er niet eens zeker van zijn dat er sinds 47 geen perfect gemiddeld getal meer is ontdekt.

Het laatste perfecte getal werd ontdekt in januari 2018. De ontdekking van een nieuw zeer groot priemgetal betekent de ontdekking van een nieuw perfect getal, namelijk de ontdekking van het getal 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Er zijn slechts drie perfecte getallen kleiner dan 1000: 6, 28 en 496. Blijkbaar eindigen zelfs perfecte getallen op 6 of 8, hoewel dit nooit is bewezen, is dit niet altijd het geval.

De even perfecte getallen in de formule 2n-1 (2n – 1) zijn driehoekige (of zelfs zeshoekige) getallen. Aan de andere kant zijn alle even getallen behalve het eerste perfect even getal de som van 2 (n-1)/2 kubussen van de eerste oneven getallen. Bijvoorbeeld:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

De eerste acht perfecte getallen zijn:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843 008 139 952 128.

Een beetje geschiedenis

Sint-Augustinus, ook bekend als Augustinus van Hippo (354-430), fHij was een Romeins filosoof, schrijver, wiskundige en priester. Als je het onderwerp filosofie hebt bestudeerd, zal de naam je bekend voorkomen, aangezien hij een van de filosofen is die het onderwerp gewoonlijk bestudeert. Net als veel andere intellectuelen van zijn tijd, was Sint-Augustinus een van degenen die kennis ontwikkelden en verdiepten op gebieden variërend van filosofie tot wiskunde, met veel meer te zien dan we ons vandaag kunnen voorstellen.

Nou, Augustinus van Hippo zei dat perfecte getallen een reden van bestaan ​​hebben. In zijn werk The City of God legde hij uit dat 6 perfect is omdat God de wereld in zes dagen schiep. Het volgende getal, 28, komt overeen met het aantal dagen dat de maan nodig heeft om één keer om de aarde te gaan. Deze uitspraak is niet zonder controverse, toeval of niet?

Voor de volgende twee cijfers wordt geen verklaring gegeven. Het zijn 496 en 8128. De eerste vier getallen werden al in de XNUMXe eeuw na Christus ontdekt door Nicomachus van Gerasa, een filosoof en wiskundige die woonde in de oude stad Decapolis, nu Jordanië, dat toebehoorde aan het Romeinse rijk.

Om het vijfde volmaakte getal te vinden, moesten we een grote sprong in de geschiedenis maken tot we de vijftiende eeuw bereikten, aangezien het vijfde volmaakte getal 33 550 336 in manuscripten uit deze eeuw verscheen. De zesde en zevende, 8.589.869.056 en 137.438.691.328, werden een eeuw later, in 1588, ontdekt door de Italiaanse wiskundige Pietro Cataldi.

Net als de perfecte getallen zijn er slechts een eindig aantal Mersenne-getallen bekend. De nummers zijn vernoemd naar Marin Mason, de man die een reeks hypothesen over hen blootlegde. Mason was een Franse filosoof, wiskundige en priester (1588-1648).

Het was Euler die deze speciale nummers ontdekte, dankzij de basis die Mason had gelegd. Leonhard Paul Euler (1707-1783) was een Zwitserse wiskundige en natuurkundige. Zijn naam zal je natuurlijk al bekend voorkomen, want het vinden van het perfecte achtste getal was niet zijn enige prestatie. Het dankt zijn naam ook aan het getal van Euler (e), die wordt gebruikt in veel fysieke en computationele formules.

Ik hoop dat je met deze informatie meer te weten kunt komen over deze nummers en hun kenmerken.