In de topologie, een tak van de wiskunde, kleine fles is een voorbeeld van een niet-oriënteerbaar oppervlak. Het is een tweedimensionale variëteit waarvoor een systeem niet consistent kan worden gedefinieerd om de normaalvectoren te bepalen. Informeel gezien is het een enkelzijdig oppervlak dat, als het wordt gepasseerd, kan worden gevolgd naar de oorsprong als de reiziger zich omdraait.
In dit artikel gaan we je alles vertellen wat je moet weten over de Klein-fles, zijn kenmerken en curiosa.
hoofdkenmerken
Andere verwante niet-oriënteerbare objecten zijn onder meer Möbius-strips en echte projectievlakken. Mobius-strips zijn beperkte oppervlakken, terwijl Klein-flessen geen grenzen hebben. Ter vergelijking: een bol is een oneindig oriënteerbaar oppervlak. De Klein-fles werd voor het eerst beschreven in 1882 door de Duitse wiskundige Felix Klein.
In het Science Museum in Londen is een verzameling handgeblazen glazen Klein-flessen te zien, met veel variaties op dit topologische thema. De flessen dateren uit 1995 en zijn gemaakt door Alan Bennett voor het museum.
De Klein-fles zelf is niet gekruist. Echter, er is een manier om de ingesloten Klein-fles in vier dimensies te visualiseren. Zelfdoorsnijdingen kunnen worden verwijderd door een vierde dimensie toe te voegen in de driedimensionale ruimte. Duw voorzichtig een buissectie met de kruising uit de oorspronkelijke 3D-ruimte langs de vierde dimensie. Een bruikbare analogie is om een kromme te beschouwen die een vlak snijdt. Zelfdoorsnijdingen kunnen worden verwijderd door de draden uit het vlak te tillen.
Ter verduidelijking, laten we zeggen dat we de tijd nemen als de vierde dimensie. Overweeg hoe u een grafiek in xyzt-ruimte kunt bouwen. De bijgevoegde figuur (“Evolutie in de tijd…”) toont een bruikbare evolutie van deze figuur. Op t = 0 ontspruit de muur ergens in de buurt van het "kruispunt". Nadat de figuur groter werd, begon het eerste deel van de muur terug te wijken en te verdwijnen als een Cheshire-kat, maar zijn brede glimlach achterlatend. Wanneer het groeifront bereikt waar de scheut is, is er niets om over te steken en is de groei compleet zonder de bestaande structuur te doorbreken.
Eigenschappen van de kleinfles
Een Klein-kolf is een niet-oriënteerbaar oppervlak dat vaak wordt afgebeeld als een fles met lange hals en een gebogen hals die van binnenuit wordt doorgelaten om als basis te openen. Door de unieke vorm van de Klein-fles heeft deze maar één oppervlak: de binnenkant is gelijk aan de buitenkant. Een Klein-fles kan niet echt bestaan in de driedimensionale Euclidische ruimte, maar een glasblazende voorstelling kan ons interessante inzichten geven. Dit is geen echt klein flesje, maar het helpt om te visualiseren wat de Duitse wiskundige Felix Klein voor ogen had toen hij op het idee voor de Klein-fles kwam.
Als het symbool is bevestigd aan een oriënteerbaar oppervlak, zoals de buitenkant van een bol, behoudt het dezelfde oriëntatie, ongeacht hoe u het verplaatst. Door de speciale vorm van de Klein-fles kun je het symbool in verschillende richtingen schuiven: het kan als een spiegelbeeld van zichzelf op hetzelfde oppervlak verschijnen. Deze eigenschap van de Klein-fles maakt het onmogelijk om hem te oriënteren.
De fles Klein is vernoemd naar de Duitse wiskundige Felix Klein. Felix Klein's werk in de wiskunde maakte hem zeer vertrouwd met Möbius-strips. Een Möbius-strook is een vel papier dat een halve slag wordt gedraaid en van begin tot eind wordt verbonden. Deze draai verandert een gewoon vel papier in een niet-oriënteerbaar oppervlak. Felix Klein redeneerde dat als hij twee Möbius-stroken langs hun randen zou verbinden, hij een nieuw type oppervlak zou creëren met dezelfde vreemde eigenschappen: een Klein-oppervlak of een Klein-fles.
De Klein-fles wordt beschreven als een niet-oriënteerbaar oppervlak omdat als een symbool aan het oppervlak is bevestigd, het zodanig kan schuiven dat het in dezelfde positie als een spiegelbeeld kan terugkeren.
Kan een Klein-fles in het echt worden gemaakt?
Helaas voor degenen onder ons die echte Klein-flessen willen zien, kunnen ze niet worden gebouwd in de driedimensionale Euclidische ruimte waarin we leven. Verbind de randen van twee Möbius-strips om een Klein-kolf te bouwen het creëert kruispunten die niet bestaan in theoretische modellen. Het eigenlijke model van de Klein-fles moest over zichzelf heen gaan toen de nek van de zijkant loskwam. Dit geeft ons iets dat niet echt een functionele Klein-fles is, maar toch leuk om te onderzoeken.
Omdat Klein-kolven veel vreemde eigenschappen delen met Möbius-strips, kunnen degenen onder ons die geen diep begrip van wiskunde hebben om de fijne kneepjes van Klein-kolven echt te begrijpen, de Moebius-strips van Felix Klein proberen Fascinerende vondst.
Klein oppervlak
Clifford Stoll is de man achter het ontwerp van deze gigantische Klein-fles, die 106 cm hoog, 62,2 cm breed en 163,5 cm in omtrek is. Het werd tussen 2001 en 2003 gebouwd door Kildee Scientific Glass.
De oorspronkelijke naam van het object was niet Klein Flask (Duits Kleinsche Flasche), maar Klein Surface (Duits Kleinsche Fläche). De vertaling van het eerste referentieobject van Duits naar Engels verwarde woorden. Vanwege het uiterlijk van de 3D-weergave die doet denken aan een fles, heeft bijna niemand de bug opgemerkt.
Als we de Klein-fles in tweeën splitsen langs het symmetrievlak, creëren we twee Möbius-stroken, die elk een spiegelbeeld zijn van de ander (alsof de een in een spiegel kijkt). Dan, een Klein flesje is een voorbeeld van een niet oriënteerbaar oppervlak, net als een Möbius-strip. Het heeft geen andere functie dan het te vertegenwoordigen. Oriënteerbare of niet-oriënteerbare oppervlakken zijn topologische concepten. Beide zijn voorbeelden van enkelzijdige oppervlakken, aangezien ze niet oriënteerbaar zijn. Zijn magie ligt in het feit dat hij het volledig kan bedekken op een totaal continue manier, waarbij alle punten worden bedekt die het vormen.
Ik hoop dat je met deze informatie meer te weten kunt komen over de Klein-fles en zijn kenmerken.