수학의 한 분야인 위상수학에서는 클라인 병 비 방향성 표면의 예입니다. 법선 벡터를 결정하기 위해 시스템을 일관되게 정의할 수 없는 XNUMX차원 다양체입니다. 비공식적으로는 지나가면 여행자가 돌아서서 원점으로 되돌아갈 수 있는 단면입니다.
이 기사에서 우리는 클라인 병, 그 특성 및 호기심에 대해 알아야 할 모든 것을 알려줄 것입니다.
주요 기능
다른 관련 non-orientable 객체에는 Möbius 스트립과 실제 투영 평면이 포함됩니다. Mobius 스트립은 표면이 제한되어 있지만 Klein 병에는 제한이 없습니다. 이에 비해 구는 방향이 무한대인 표면입니다. 클라인 병은 1882년 독일 수학자 펠릭스 클라인이 처음 기술했습니다.
손으로 불어서 만든 Klein 유리병 컬렉션이 런던 과학 박물관에 전시되어 이 토폴로지 주제에 대한 다양한 변형을 보여줍니다. 병은 1995년에 제작되었으며 박물관을 위해 Alan Bennett이 제작했습니다.
Klein 병 자체는 교차되지 않습니다. 하지만, 포함된 Klein 병을 XNUMX차원으로 시각화하는 방법이 있습니다. 자체 교차점은 3차원 공간에 XNUMX차원을 추가하여 제거할 수 있습니다. 교차점이 포함된 튜브 섹션을 XNUMX차원을 따라 원래 XNUMXD 공간 밖으로 부드럽게 밀어냅니다. 유용한 비유는 평면과 교차하는 곡선을 고려하는 것입니다. 나사산을 평면에서 들어 올려 자체 교차점을 제거할 수 있습니다.
명확히 하기 위해 시간을 0차원으로 간주한다고 가정해 보겠습니다. xyzt 공간에서 그래프를 작성하는 방법을 고려하십시오. 첨부된 그림(“시간 경과에 따른 진화…”)은 이 그림의 유용한 진화를 보여줍니다. t = XNUMX에서 벽은 "교차로" 근처 어딘가에 돋아납니다. 형체가 커지자 벽의 첫 부분이 후퇴하기 시작하여 체셔 고양이처럼 사라지고, 하지만 그의 넓은 미소를 뒤로하고. 생육전선이 싹이 있는 곳에 이르면 넘어갈 것이 없고 기존 구조물을 뚫지 않고 생육이 완료된다.
클라인 병 속성
Klein 플라스크는 내부에서 통과하여 밑면으로 열리는 구부러진 목이 있는 긴 목 플라스크로 종종 묘사되는 비방향성 표면입니다. Klein 병의 독특한 모양은 표면이 하나뿐임을 의미합니다. 내부는 외부와 동일합니다. 클라인 병은 실제로 XNUMX차원 유클리드 공간에 존재할 수 없지만 유리를 불어 표현하면 흥미로운 통찰력을 얻을 수 있습니다. 이것은 실제 클라인 병이 아닙니다. 그러나 독일 수학자 Felix Klein이 클라인 병에 대한 아이디어를 생각해냈을 때 상상했던 것을 시각화하는 데 도움이 됩니다.
기호가 구 외부와 같은 방향 지정 가능한 표면에 부착된 경우 기호를 이동하는 방법에 관계없이 동일한 방향을 유지합니다. Klein 병의 특별한 모양을 사용하면 기호를 다른 방향으로 밀 수 있습니다. 동일한 표면에 거울 이미지로 나타날 수 있습니다. Klein 병의 이러한 특성으로 인해 방향을 지정할 수 없습니다.
클라인 병은 독일 수학자 Felix Klein의 이름을 따서 명명되었습니다. Felix Klein의 수학 연구는 그를 뫼비우스 띠에 매우 친숙하게 만들었습니다. 뫼비우스 띠는 반 바퀴 회전하고 끝에서 끝으로 연결된 종이 한 장입니다. 이 비틀림은 일반 종이를 방향이 맞지 않는 표면으로 바꿉니다. Felix Klein은 가장자리를 따라 두 개의 뫼비우스 띠를 연결하면 동일한 이상한 속성을 가진 새로운 유형의 표면을 만들 것이라고 추론했습니다. Klein 표면 또는 Klein 병.
Klein 병은 표면에 기호가 부착되어 있으면 거울 이미지와 같은 위치로 돌아갈 수 있는 방식으로 미끄러질 수 있기 때문에 비 방향성 표면으로 설명됩니다.
클라인 병을 실생활에서 만들 수 있습니까?
불행히도 실제 클라인 병을 보고 싶은 사람들에게는 우리가 살고 있는 XNUMX차원 유클리드 공간에서 만들 수 없습니다. XNUMX개의 뫼비우스 스트립의 가장자리를 연결하여 클라인 플라스크 만들기 이론적인 모델에는 존재하지 않는 교차점을 생성합니다. Klein 병의 실제 모델은 목이 옆으로 빠졌을 때 스스로 넘어져야 했습니다. 이것은 우리에게 실제로 기능적인 Klein 병은 아니지만 조사하는 것은 여전히 재미있는 것을 제공합니다.
클라인 플라스크는 뫼비우스 띠와 많은 이상한 특성을 공유하기 때문에 클라인 플라스크의 복잡성을 진정으로 이해하기 위해 수학에 대한 깊은 이해가 없는 사람은 펠릭스 클라인의 뫼비우스 띠 Fascinating find 를 시도해 볼 수 있습니다.
클라인 표면
Clifford Stoll은 높이 106cm, 폭 62,2cm, 둘레 163,5cm인 이 거대한 클라인 병을 디자인한 사람입니다. 2001년에서 2003년 사이에 Kildee Scientific Glass에서 제작했습니다.
물체의 원래 이름은 Klein Flask(독일어 Kleinsche Flasche)가 아니라 Klein Surface(독일어 Kleinsche Fläche)였습니다. 참조의 첫 번째 대상을 독일어에서 영어로 혼란스러운 단어로 번역합니다. 병을 연상시키는 3D 렌더링의 외관으로 인해 버그를 눈치채는 사람은 거의 없었습니다.
클라인 병을 대칭면을 따라 둘로 나누면 두 개의 뫼비우스 띠가 만들어집니다. 각 띠는 서로의 거울 이미지입니다(하나가 거울을 보고 있는 것처럼). 그 다음에, Klein 병은 비 방향성 표면의 예입니다. 뫼비우스의 띠처럼. 나타내는 것 외에 다른 기능은 없습니다. 방향성 또는 비방향성 표면은 토폴로지 개념입니다. 둘 다 방향을 지정할 수 없기 때문에 단면 서피스의 예입니다. 그것의 마법은 그것을 형성하는 모든 점을 덮는 완전히 연속적인 방식으로 그것을 완전히 덮을 수 있다는 것입니다.
이 정보를 통해 클라인 병과 그 특성에 대해 더 많이 알 수 있기를 바랍니다.