ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎನ್ನುವುದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವಾಗಿದ್ದು, ಅದನ್ನು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮೂಲ ವಸ್ತುವಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಅನಂತ ವಿವರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮಾಪಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮಾದರಿಗಳು, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾವು ನಿಮಗೆ ಹೇಳಲಿದ್ದೇವೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆ, ಅನಂತ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಆಯಾಮ.
ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆ
ಆಕೃತಿಯ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಪ್ರತಿರೂಪವಾಗಿ ನೋಡಿದಾಗ ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆ.
ಅನಂತ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ
ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ಹಿಂದೆ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಅದರ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಉಪವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನಂತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.
ಆಯಾಮಗಳು
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಂತೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಆಯಾಮಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಈ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುಗಳು ಶೂನ್ಯ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಸಂಪುಟಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ರಚನೆಯು ಅದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಾಗವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಮೊದಲ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳೆಂದರೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್, ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ ಮತ್ತು ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಆಕಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಅವುಗಳ ನಡವಳಿಕೆ ಅಥವಾ ರಚನೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳು ಇವೆ, ಆದರೆ ಇವುಗಳು ಸೀಮಿತ ರೀತಿಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲಾದ ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮೋಡಗಳು ಮತ್ತು ಮರಗಳು.
ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
"ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಎಂಬ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಸ್‌ನಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದರರ್ಥ "ವಿಘಟಿತ", "ಮುರಿದ" ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ "ಮುರಿದ" ಅಥವಾ "ಮುರಿದ", ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಆಯಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವನ್ನು 1977 ರಲ್ಲಿ ಬೆನೊಯಿಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೊಟ್ ಅವರು ರಚಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವರ ಪುಸ್ತಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಸ್ತುಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎನ್ನುವುದು ಗಣಿತದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು ಅದು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯನ್ನು ಆನಂದಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಆಯಾಮಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅವು ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಸ್ತುವು ವೀಕ್ಷಕನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಡಬಲ್ ಜೂಮ್ ಮಾಡಿದಾಗ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ನಾವು 1000 ಅಂಶದಿಂದ ಝೂಮ್ ಇನ್ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು n ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಕಥಾವಸ್ತುವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೋಲುತ್ತದೆ.
ಅಳತೆಯ ಉಪಕರಣದ ಪ್ರಮಾಣವು ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ ಅದು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗುವಾಗ ಸಂಗ್ರಹ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ರಚನೆ ಅಥವಾ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅನೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಸ್ತುಗಳು ಇವೆ.ನಾವು ಅವರನ್ನು ಗುರುತಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಮೋಡಗಳು, ಪರ್ವತಗಳು, ಕಡಲತೀರಗಳು, ಮರಗಳು ಮತ್ತು ನದಿಗಳು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೂ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆದರ್ಶವಲ್ಲ, ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಆನಂದಿಸುವ ಮತ್ತು ಆದರ್ಶವಾಗಿರುವ ಗಣಿತದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಂತೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕಲೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಹೆಸರೇ ಸೂಚಿಸುವಂತೆ, ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾದರಿಯ ನಿರಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಭಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ, ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಹೊಸ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ. ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಉಳಿದ ತ್ರಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಣಿತದ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಅವರು 85 ನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾನ್ಸರ್ನಿಂದ ನಿಧನರಾದರು. ಫ್ರೆಂಚ್ ಮತ್ತು ಅಮೇರಿಕನ್ ಪ್ರಜೆಯಾದ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್, ಪ್ರಕೃತಿಯ ಅನಂತ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.
ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ ವಿಶೇಷಕ್ಕೆ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಶಾಲ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು: ನಿರ್ಣಾಯಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು (ಅವು ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿರಬಹುದು) ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು (ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ).
ರೇಖೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಮಾಪಕಗಳು ಬದಲಾಗುವಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದವುಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಎಲ್ಲಾ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿರೂಪಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಥವಾ ಹೆಸರೇ ಸೂಚಿಸುವಂತೆ, ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲು, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಿರೂಪಗಳು.
ದೈನಂದಿನ ಜೀವನ
ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ (ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶ ವಸ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವು ಒಂದೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅಥವಾ ಸರಿಸುಮಾರು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಾಗ ಅದರ ಭಾಗಗಳ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಧಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಅದು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಸತತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ವಿವರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಆರಂಭಿಕ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮೋಡಗಳು, ಪರ್ವತಗಳು, ರಕ್ತಪರಿಚಲನಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಕರಾವಳಿಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅಂದಾಜು ಏಕೆಂದರೆ ಅನಂತ ವಿವರಗಳಂತಹ ಆದರ್ಶ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವೇ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಆಯಿತು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು, ವೈದ್ಯರು, ಕಲಾವಿದರು, ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ಹವಾಮಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ಸಂಗೀತಗಾರರು, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಬಳಸುವ ಬಹುಶಿಸ್ತೀಯ ಸಾಧನಇತ್ಯಾದಿ
ಈ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.