ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆ, ಕ್ಲೀನ್ ಬಾಟಲ್ ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಬಹುದ್ವಾರಿಯಾಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಏಕ-ಬದಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದ್ದು, ಅದನ್ನು ದಾಟಿದರೆ, ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ತಿರುಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಬಹುದು.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲ್, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಕುತೂಹಲಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾವು ನಿಮಗೆ ಹೇಳಲಿದ್ದೇವೆ.
ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಇತರ ಸಂಬಂಧಿತ ನಾನ್-ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ವಸ್ತುಗಳು Möbius ಪಟ್ಟಿಗಳು ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಮೊಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗಳು ಸೀಮಿತ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಗಳು ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ಗೋಳವು ಅನಂತ ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯನ್ನು ಮೊದಲು 1882 ರಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ವಿವರಿಸಿದರು.
ಕೈಯಿಂದ ಊದಿದ ಕ್ಲೈನ್ ಗಾಜಿನ ಬಾಟಲಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಲಂಡನ್‌ನ ಸೈನ್ಸ್ ಮ್ಯೂಸಿಯಂನಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಅನೇಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಟಲಿಗಳು 1995 ರ ಹಿಂದಿನದು ಮತ್ತು ಅಲನ್ ಬೆನೆಟ್ ಅವರು ಮ್ಯೂಸಿಯಂಗಾಗಿ ತಯಾರಿಸಿದರು.
ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲ್ ಸ್ವತಃ ದಾಟಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ನಾಲ್ಕನೇ ಆಯಾಮದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೂಲ 3D ಜಾಗದಿಂದ ಛೇದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟ್ಯೂಬ್ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನಿಧಾನವಾಗಿ ತಳ್ಳಿರಿ. ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಿಮಾನದಿಂದ ಎಳೆಗಳನ್ನು ಎತ್ತುವ ಮೂಲಕ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು.
ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಸಮಯವನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಆಯಾಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. Xyzt ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಲಗತ್ತಿಸಲಾದ ಅಂಕಿ ("ಕಾಲದ ಮೇಲೆ ವಿಕಾಸ...") ಈ ಆಕೃತಿಯ ಉಪಯುಕ್ತ ವಿಕಸನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. t = 0 ನಲ್ಲಿ, ಗೋಡೆಯು "ಛೇದಕ" ಬಳಿ ಎಲ್ಲೋ ಮೊಳಕೆಯೊಡೆಯುತ್ತದೆ. ಆಕೃತಿಯು ದೊಡ್ಡದಾದ ನಂತರ, ಗೋಡೆಯ ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು, ಚೆಷೈರ್ ಬೆಕ್ಕಿನಂತೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಯಿತು. ಆದರೆ ಅವನ ವಿಶಾಲವಾದ ನಗುವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತಾನೆ. ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮುಂಭಾಗವು ಚಿಗುರು ಇರುವಲ್ಲಿಗೆ ತಲುಪಿದಾಗ, ದಾಟಲು ಏನೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ರಚನೆಯನ್ನು ಚುಚ್ಚದೆಯೇ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಕ್ಲೀನ್ ಬಾಟಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಕ್ಲೈನ್ ಫ್ಲಾಸ್ಕ್ ಎನ್ನುವುದು ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಬಾಗಿದ ಕುತ್ತಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಉದ್ದ-ಕತ್ತಿನ ಫ್ಲಾಸ್ಕ್ ಎಂದು ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಒಳಗಿನಿಂದ ಬೇಸ್ ಆಗಿ ತೆರೆಯಲು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಆಕಾರ ಎಂದರೆ ಅದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಒಳಭಾಗವು ಹೊರಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗಾಜಿನಿಂದ ಬೀಸುವ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ನಮಗೆ ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಜವಾದ ಕ್ಲೀನ್ ಬಾಟಲ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಜರ್ಮನಿಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರು ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದಾಗ ಅದನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಗೋಳದ ಹೊರಭಾಗದಂತಹ ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸರಿಸಿದರೂ ಅದು ಅದೇ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯ ವಿಶೇಷ ಆಕಾರವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿವಿಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಲೈಡ್ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: ಇದು ಒಂದೇ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ಕನ್ನಡಿ ಚಿತ್ರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು. ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯ ಈ ಆಸ್ತಿಯು ಅದನ್ನು ಓರಿಯಂಟ್ ಮಾಡಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಗೆ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಅವರನ್ನು ಮೊಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹಳ ಪರಿಚಿತರನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿತು. Möbius ಸ್ಟ್ರಿಪ್ ಎಂಬುದು ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ಅರ್ಧ ತಿರುವು ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಿಂದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಟ್ವಿಸ್ಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯನ್ನು ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರು ಎರಡು ಮೊಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಅವರು ಅದೇ ವಿಚಿತ್ರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಾರೆ: ಕ್ಲೀನ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಥವಾ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲ್.
ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯನ್ನು ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿದರೆ, ಅದು ಕನ್ನಡಿ ಬಿಂಬದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮರಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಲೈಡ್ ಮಾಡಬಹುದು.
ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯನ್ನು ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದೇ?
ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ನೈಜ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ, ನಾವು ವಾಸಿಸುವ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ಲೈನ್ ಫ್ಲಾಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎರಡು ಮೊಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ ಇದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಕತ್ತು ಬದಿಗೆ ಬಂದಾಗ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯ ನಿಜವಾದ ಮಾದರಿಯು ಸ್ವತಃ ಹೋಗಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಇದು ನಮಗೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯಲ್ಲದ ಏನನ್ನಾದರೂ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಇನ್ನೂ ವಿನೋದಮಯವಾಗಿದೆ.
ಕ್ಲೈನ್ ಫ್ಲಾಸ್ಕ್‌ಗಳು ಮೊಬಿಯಸ್ ಸ್ಟ್ರಿಪ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನೇಕ ವಿಚಿತ್ರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಕ್ಲೈನ್ ಫ್ಲಾಸ್ಕ್‌ಗಳ ಜಟಿಲತೆಗಳನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಗಣಿತದ ಆಳವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದವರು ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್‌ನ ಮೋಬಿಯಸ್ ಸ್ಟ್ರಿಪ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು.
ಕ್ಲೀನ್ ಮೇಲ್ಮೈ
ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಸ್ಟೋಲ್ ಈ ದೈತ್ಯ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯ ವಿನ್ಯಾಸದ ಹಿಂದಿನ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು 106cm ಎತ್ತರ, 62,2cm ಅಗಲ ಮತ್ತು 163,5cm ಸುತ್ತಳತೆ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು 2001 ಮತ್ತು 2003 ರ ನಡುವೆ ಕಿಲ್ಡೀ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಗ್ಲಾಸ್ ನಿರ್ಮಿಸಿದೆ.
ವಸ್ತುವಿನ ಮೂಲ ಹೆಸರು ಕ್ಲೈನ್ ಫ್ಲಾಸ್ಕ್ (ಜರ್ಮನ್ ಕ್ಲೆನ್ಸ್ಚೆ ಫ್ಲಾಸ್ಚೆ) ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕ್ಲೈನ್ ಸರ್ಫೇಸ್ (ಜರ್ಮನ್ ಕ್ಲೆನ್ಸ್ಚೆ ಫ್ಲಾಚೆ). ಜರ್ಮನ್‌ನಿಂದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್‌ಗೆ ಉಲ್ಲೇಖದ ಮೊದಲ ವಸ್ತುವಿನ ಅನುವಾದ ಗೊಂದಲಮಯ ಪದಗಳು. ಬಾಟಲಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸುವ 3D ರೆಂಡರಿಂಗ್‌ನ ನೋಟದಿಂದಾಗಿ, ಯಾರೊಬ್ಬರೂ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಲಿಲ್ಲ.
ನಾವು ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯನ್ನು ಅದರ ಸಮತಲದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಮೊಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇನ್ನೊಂದರ ಕನ್ನಡಿ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ (ಒಂದು ಕನ್ನಡಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತಿರುವಂತೆ). ನಂತರ, ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯು ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, Möbius ಪಟ್ಟಿಯಂತೆ. ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಬೇರೆ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲ. ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಅಥವಾ ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡೂ ಏಕ-ಬದಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರ ಮಾಂತ್ರಿಕತೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆವರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ರೂಪಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
ಈ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.