フラクタルは、それぞれが元のオブジェクトに類似しているパーツに分割できる幾何学的オブジェクトです。 フラクタルは無限の詳細を持ち、自己相似でスケーリングされていることがよくあります。 多くの場合、 フラクタル それらは、反復パターン、再帰的または反復的なプロセスによって生成できます。
この記事では、フラクタル、その特性、および重要性について知っておく必要のあるすべてのことを説明します。
フラクタルの性質
フラクタルを特徴付ける主な特性は、自己相似性、無限の複雑さ、および次元性です。
自己相似性
自己相似性とは、図や輪郭の一部を全体のレプリカとして、より小さなスケールで見ることができる場合です。
無限の複雑さ
これは、グラフ形成プロセスが再帰的であるという事実を指します。 これは、プロシージャが実行されると、以前に実行されたプロシージャ自体がそのプロシージャのサブプロシージャであることが検出されることを意味します。
数学的に定義されたフラクタルの反復構築の場合、実行されるプログラムは無限であり、その結果、無限に複雑な構造になることに注意してください。
大きさ
ユークリッド幾何学とは異なり、 フラクタルの次元は必ずしも整数値ではありません。 この数学の分野では、点はXNUMX次元、線はXNUMX次元、表面はXNUMX次元、ボリュームはXNUMX次元です。 フラクタル次元の場合、これは、構造がそれを含むスペースをどれだけうまく占有しているかを表す分数です。
フラクタルの例
研究された最初のフラクタルは、カントール集合、コッホスノーフレーク、およびシェルピンスキーの三角形でした。 フラクタルは、再帰的なプロセスを通じて幾何学的または確率的に取得でき、自然界に見られるさまざまなタイプの形状の特性を引き継ぐことができます。
フラクタルはいたるところに存在します。 動作や構造から自然なフラクタルと見なされる自然なオブジェクトはたくさんありますが、これらは有限のタイプのフラクタルであり、再帰的な相互作用によって作成される数学的なタイプのフラクタルとは異なります。 これらの例は、雲や木です。
主要な機能
「フラクタル」という言葉はラテン語のフラクタルに由来します。これは「断片化」、「壊れた」、または単に「壊れた」または「壊れた」を意味し、分数の寸法を持つオブジェクトに適しています。 この用語は1977年にブノワ・マンデルブロによって造られ、彼の著書「フラクタル幾何学」に登場しました。 フラクタルオブジェクトの研究は、しばしばフラクタル幾何学と呼ばれます。
フラクタルは、任意のスケールで自己相似性を享受できる数学的なセットであり、その次元は整数ではないか、そうである場合は通常の整数ではありません。 自己相似であるということは、フラクタルオブジェクトがオブザーバー自体に依存しないことを意味します。つまり、ある種のフラクタルを取る場合、 ダブルズームすると、図面が最初の図面と同じであることを確認できます。 1000倍にズームインすると、同じプロパティが検証されます。したがって、nを増やすと、プロットは同じになり、部分は全体に似ています。
コレクションやオブジェクトは、測定器のスケールが小さくなるにつれて任意に大きくなるとフラクタルと呼ばれます。 それらの構造または振る舞いのために自然であると考えられる多くの普通のオブジェクトがあります。認識しなくても。 雲、山、海岸線、樹木、川はすべて自然のフラクタルですが、有限であるため理想的ではありません。無限大を楽しみ、理想的な数学的フラクタルとは異なります。
フラクタルと科学
フラクタルアートは、その名前が示すように、フラクタルの概念を使用しているため、数学、特に幾何学と密接に関連しています。 フラクタルは、自己相関のある幾何学的パターンの一定の繰り返しに基づいています。つまり、部分は全体に等しくなります。
正三角形からシェルピンスキーの三角形を作成するときは、その中点を取り、新しい正三角形を形成し、中央の三角形を削除します。 次に、残りの各三角形で同じことを行います。 などなど、フラクタルと見なされます。 フラクタルとして知られる数学的形状を発見したブノワ・マンデルブロは、85歳で癌で亡くなりました。 フランスとアメリカの市民であるマンデルブロは、自然の無限の複雑さを理解するための数学的方法としてフラクタルを開発しました。
一般的なものから特別なものへの分類に対処するために、それらをXNUMXつの大きなカテゴリに分類できます。決定論的フラクタル（代数的または幾何学的）と非決定論的フラクタル（確率的フラクタルとも呼ばれます）です。
線形フラクタルは、スケールが変化するときに作成されるフラクタルです。つまり、すべてのスケールで同一です。 一方、非線形フラクタルは、 複雑な歪みの結果、または名前が示すように、 混沌とした数学、非線形歪みで用語を使用します。
日常生活
ほとんどの純粋に数学的なオブジェクトと自然なオブジェクトは非線形です。 数学では、自己相似性は、自己相似性と呼ばれることもあるオブジェクト（自己相似オブジェクトと呼ばれる）のプロパティであり、たとえば、全体がその部品の形をしたXNUMXつまたは複数。
フラクタルは、次のように無限大になる傾向がある周囲によって特徴付けられます 連続する反復でますます小さな詳細を追加します。 ただし、この曲線は、最初の三角形に外接する円の時間制約と重なることはありません。 雲、山、循環器系、海岸線、または雪片はすべて自然のフラクタルです。 無限の詳細などの理想的なオブジェクトのプロパティは本質的に制限されているため、この表現は概算です。
フラクタル幾何学は、多くの自然現象や科学実験をモデル化して記述しようとしますが、わずか数年で 科学者、医師、芸術家、社会学者、経済学者、気象学者、音楽家、コンピューター科学者が使用する学際的なツール, etc.
この情報で、フラクタルとその特性についてもっと学ぶことができることを願っています。