פרקטלים

פרקטל הוא עצם גיאומטרי שניתן לחלקו לחלקים, כל אחד דומה לעצם המקורי. לפרקטלים יש פרטים אינסופיים ולעיתים קרובות הם דומים לעצמם ובקנה מידה. במקרים רבים, פרקטלים הם יכולים להיווצר על ידי דפוסים חוזרים, תהליכים רקורסיביים או איטרטיביים.

במאמר זה אנו הולכים לספר לכם את כל מה שאתם צריכים לדעת על פרקטלים, המאפיינים והחשיבות שלהם.

מאפיינים של פרקטלים

המאפיינים העיקריים המאפיינים את הפרקטלים הם דמיון עצמי, מורכבות אינסופית וממדיות.

דמיון עצמי

דמיון עצמי הוא כאשר ניתן לראות חלק מדמות או מתווה כהעתק של השלם, בקנה מידה קטן יותר.

מורכבות אינסופית

זה מתייחס לעובדה שתהליך יצירת הגרפים הוא רקורסיבי. המשמעות היא שכאשר מבוצע הליך, ההליך שבוצע קודם לכן עצמו נמצא כתת נוהל בהליך שלו.

ראוי לציין שבמקרה של בנייה איטרטיבית של פרקטל מוגדר מתמטית, התוכנית שיש לבצע היא אינסופית, מה שמביא למבנה מורכב עד אינסוף.

ממדים

בניגוד לגיאומטריה האוקלידית, הממדים של פרקטלים אינם בהכרח ערכים שלמים. בענף זה של המתמטיקה, לנקודות יש מימד אפס, לקווים יש מימד אחד, למשטחים יש שני ממדים ולנפחים יש שלושה מימדים. במקרה של הממד הפרקטלי, זוהי כמות שברית המייצגת עד כמה מבנה תופס את החלל המכיל אותו.

דוגמאות של פרקטלים

הפרקטלים הראשונים שנחקרו היו סט קנטור, פתית השלג קוך ומשולש סיירפינסקי. ניתן להשיג פרקטלים בצורה גיאומטרית או סטוכסטית באמצעות תהליכים רקורסיביים ויכולים לקבל את המאפיינים של סוגים שונים של צורות המצויות בטבע.

פרקטלים קיימים בכל מקום. ישנם אובייקטים טבעיים רבים הנחשבים לפרקטלים טבעיים בשל התנהגותם או המבנה שלהם, אך אלו הם סוגים סופיים של פרקטלים, המבדילים אותם מפרקטלים מסוג מתמטי שנוצרו על ידי אינטראקציות רקורסיביות. דוגמאות לכך הן עננים ועצים.

תכונות עיקריות

המילה "פרקטל" מגיעה מהמילה הלטינית fractus, שפירושה "קטוע", "שבור", או פשוט "שבור" או "שבור", והיא מתאימה היטב לחפצים בעלי ממדים שברים. המונח נטבע על ידי בנואה מנדלברוט ב-1977 והופיע בספרו Geometry Fractal of Nature. חקר עצמים פרקטליים נקרא לרוב גיאומטריה פרקטלית.

פרקטל הוא קבוצה מתמטית שיכולה ליהנות מדמיון עצמי בכל קנה מידה, והממדים שלו אינם מספרים שלמים, או שאם היו, הם לא היו מספרים שלמים רגילים. העובדה שהוא דומה לעצמו פירושה שהאובייקט הפרקטלי אינו תלוי בצופה עצמו, כלומר, אם ניקח סוג של פרקטל, אנו יכולים לוודא שכאשר אנו זום כפול, הציור זהה לציור הראשון. אם נקרב במקדם 1000, נוודא את אותם מאפיינים, כך שאם נגדיל את n, העלילה זהה, כך שהחלק דומה לשלם.

אומרים שאוסף או חפץ הם פרקטליים כאשר הם הופכים לגדולים באופן שרירותי ככל שקנה ​​המידה של מכשיר המדידה פוחת. ישנם חפצים רגילים רבים הנחשבים טבעיים בשל מבנהם או התנהגותם.גם אם אנחנו לא מזהים אותם. עננים, הרים, קווי חוף, עצים ונהרות הם כולם פרקטלים טבעיים, אם כי סופיים ולכן אינם אידיאליים, בניגוד לפרקטלים מתמטיים שנהנים מאינסוף ואידיאליים.

פרקטלים ומדע

אמנות פרקטלית קשורה קשר הדוק למתמטיקה, במיוחד לגיאומטריה, שכן, כפי ששמה מרמז, היא משתמשת במושג הפרקטלים. הפרקטלים מבוססים על חזרה מתמדת של תבנית גיאומטרית בקורלציה עצמית, כלומר, החלק שווה לשלם.

בעת בניית משולש סיירפינסקי, ממשולש שווה צלעות, קח את נקודת האמצע שלו, צור משולש שווה צלעות חדש, והסר את המרכז. ואז עשה את אותו הדבר עם כל משולש שנותר, וכן הלאה, אז זה נחשב פרקטל. בנואה מנדלברוט, שגילה את הצורות המתמטיות הידועות בשם פרקטלים, מת מסרטן בגיל 85. מנדלברוט, אזרח צרפתי ואמריקאי, פיתח פרקטלים כשיטה מתמטית להבנת המורכבות האינסופית של הטבע.

כדי להתייחס לסיווג מכללי למיוחד, נוכל לחלק אותם לשתי קטגוריות רחבות: פרקטלים דטרמיניסטיים (שבתורם יכולים להיות אלגבריים או גיאומטריים) ופרקטלים לא דטרמיניסטיים (הידועים גם בתור פרקטלים סטוכסטיים).

פרקטלים ליניאריים הם אלה שנבנים ככל שהסולמות משתנים, כלומר, הם זהים בכל הסולמות. פרקטלים לא ליניאריים, לעומת זאת, נובע מעיוותים מורכבים, או כפי שהשם מרמז, להשתמש במונח במתמטיקה כאוטית, עיוותים לא ליניאריים.

חיי יום יום

רוב העצמים המתמטיים והטבעיים בלבד אינם ליניאריים. במתמטיקה, דמיון עצמי, הנקרא לפעמים דמיון עצמי, הוא תכונה של אובייקט (נקרא אובייקט דומה לעצמו) שבו השלם דומה בדיוק או בערך לאותו חלק, למשל כאשר לשלם יש אותו חלק אחד או יותר בצורת חלקיו.

פרקטל מאופיין בהיקף הנוטה לאינסוף כמו הוסף פרטים קטנים יותר ויותר עם איטרציות עוקבות. עם זאת, עקומה זו אינה חופפת את כל אילוצי הזמן של המעגל המקיף את המשולש הראשוני. עננים, הרים, מערכות מחזור, קווי חוף או פתיתי שלג הם כולם פרקטלים טבעיים. ייצוג זה משוער מכיוון שמאפיינים של עצמים אידיאליים, כגון פרטים אינסופיים, מוגבלים בטבעם.

גיאומטריה פרקטלית מנסה ליצור מודל ולתאר תופעות טבע וניסויים מדעיים רבים, ובתוך שנים ספורות היא הפכה להיות כלי רב תחומי המשמש מדענים, רופאים, אמנים, סוציולוגים, כלכלנים, מטאורולוגים, מוזיקאים, מדעני מחשב, וכו '

אני מקווה שבעזרת המידע הזה תוכלו ללמוד עוד על פרקטלים והמאפיינים שלהם.