U topologiji, grana matematike, kleinova boca je primjer površine koja se ne može orijentirati. To je dvodimenzionalna mnogostrukost za koju se sustav ne može dosljedno definirati da bi se odredili normalni vektori. Neformalno, to je jednostrana površina preko koje se, ako se prijeđe, može pratiti natrag do ishodišta dok se putnik okreće.
U ovom članku ćemo vam reći sve što trebate znati o Klein boci, njezinim karakteristikama i zanimljivostima.
Glavne osobine
Ostali povezani neorijentirani objekti uključuju Möbiusove trake i prave projekcijske ravnine. Mobius trake su ograničene površine, dok Klein boce nemaju ograničenja. Za usporedbu, kugla je beskonačno orijentirana površina. Klein bocu prvi je opisao 1882. godine njemački matematičar Felix Klein.
Zbirka ručno puhanih Klein staklenih boca izložena je u Muzeju znanosti u Londonu, pokazujući mnoge varijacije na ovu topološkom temom. Boce datiraju iz 1995. godine, a izradio ih je Alan Bennett za muzej.
Sama Kleinova boca nije prekrižena. Međutim, postoji način za vizualizaciju sadržane Kleinove boce u četiri dimenzije. Samopresijecanja se mogu ukloniti dodavanjem četvrte dimenzije u trodimenzionalni prostor. Nježno gurnite dio cijevi koji sadrži sjecište iz izvornog 3D prostora duž četvrte dimenzije. Korisna analogija je razmatranje krivulje koja siječe ravninu. Samosjecišta se mogu ukloniti podizanjem niti s ravnine.
Da pojasnimo, recimo da vrijeme uzimamo kao četvrtu dimenziju. Razmislite kako izgraditi graf u xyzt prostoru. Priložena slika ("Evolucija tijekom vremena...") prikazuje korisnu evoluciju ove slike. Kod t = 0, zid niče negdje blizu "raskrižja". Nakon što je lik postao veći, prvi dio zida počeo se povlačiti, nestajajući poput Cheshire mačke, ali ostavivši za sobom svoj široki osmijeh. Kada prednji dio rasta dosegne mjesto na kojem je mladica, nema se što prijeći i rast je gotov bez probijanja postojeće strukture.
Svojstva Kleinove boce
Kleinova tikvica je površina koja se ne može orijentirati i koja se često prikazuje kao tikvica s dugim vratom sa zakrivljenim vratom koji se prolazi iznutra kako bi se otvorio kao baza. Jedinstveni oblik Klein boce znači da ima samo jednu površinu: unutarnja je jednaka vanjskoj. Kleinova boca zapravo ne može postojati u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, ali prikaz puhanja stakla može nam dati neke zanimljive uvide. Ovo nije prava klein boca, ali pomaže vizualizirati što je zamislio njemački matematičar Felix Klein kada je došao na ideju za Kleinovu bocu.
Ako je simbol pričvršćen na površinu koja se može orijentirati, kao što je vanjska strana kugle, on će zadržati istu orijentaciju bez obzira na to kako ga pomičete. Poseban oblik Kleinove boce omogućuje vam pomicanje simbola u različitim smjerovima: može se pojaviti kao zrcalna slika samog sebe na istoj površini. Ovo svojstvo Kleinove boce onemogućuje je orijentaciju.
Kleinova boca je dobila ime po njemačkom matematičaru Felixu Kleinu. Rad Felixa Kleina u matematici učinio ga je vrlo upoznatim s Möbiusovim trakama. Möbiusova traka je list papira koji se okreće za pola okreta i povezuje kraj s krajem. Ovaj zaokret pretvara običan list papira u površinu koja se ne može orijentirati. Felix Klein je zaključio da bi spojio dvije Möbiusove trake duž njihovih rubova stvorio novu vrstu površine s istim čudnim svojstvima: Kleinova površina ili Kleinova boca.
Kleinova boca je opisana kao površina koja se ne može orijentirati jer ako je simbol pričvršćen na površinu, može kliziti na takav način da se može vratiti u isti položaj kao zrcalna slika.
Može li se Kleinova boca napraviti u stvarnom životu?
Nažalost za nas koji želimo vidjeti prave Klein boce, one se ne mogu izgraditi u trodimenzionalnom euklidskom prostoru u kojem živimo. Spojite rubove dviju Möbiusovih traka kako biste napravili Klein tikvicu stvara sjecišta koja ne postoje u teorijskim modelima. Stvarni model Kleinove boce morao je prijeći preko sebe kada se vrat odvojio sa strane. To nam daje nešto što zapravo nije funkcionalna Kleinova boca, ali je još uvijek zabavno ispitati.
Budući da Kleinove tikvice dijele mnoga čudna svojstva s Möbiusovim trakama, oni od nas koji nemaju duboko razumijevanje matematike da bi stvarno razumjeli zamršenosti Kleinovih tikvica mogu isprobati Moebiusove trake Felixa Kleina Fascinantno nalaz.
Kleinova površina
Clifford Stoll je čovjek iza dizajna ove divovske Kleinove boce, čija je visina 106 cm, široka 62,2 cm i opseg 163,5 cm. Izgradio ga je Kildee Scientific Glass između 2001. i 2003. godine.
Izvorni naziv objekta nije bio Klein Flask (njem. Kleinsche Flasche), već Klein Surface (njem. Kleinsche Fläche). Prijevod prvog referentnog objekta s njemačkog na engleski zbunio je riječi. Zbog izgleda 3D renderiranja koji podsjeća na bocu, rijetko tko je primijetio bug.
Ako Kleinovu bocu podijelimo na dva dijela duž ravnine simetrije, stvaramo dvije Möbiusove trake, od kojih je svaka zrcalna slika druge (kao da jedna gleda u zrcalo). Zatim, Kleinova boca je primjer površine koja se ne može orijentirati, kao što je Möbiusova traka. Ona nema drugu funkciju osim da je predstavlja. Površine koje se mogu orijentirati ili koje se ne mogu orijentirati su topološki koncepti. Obje su primjeri jednostranih površina, budući da se ne mogu orijentirati. Njegova magija leži u tome što ga može potpuno pokriti na potpuno kontinuiran način, pokrivajući sve točke koje ga čine.
Nadam se da uz ove informacije možete saznati više o Klein boci i njenim karakteristikama.