सही संख्या

गणित शुरू से ही अस्तित्व में रहा है। अगर ईशांगो हड्डी की खोज (20.000 साल पहले) पर विश्वास किया जाए, तो यह पहली अभाज्य संख्याओं और गुणन के ज्ञान का पहला प्रमाण हो सकता है, लेकिन यह विषय विवादास्पद बना हुआ है। जबकि गणित हम में से कई लोगों के लिए एक रहस्य बना हुआ है, कुछ इसे दुनिया को समझने और विश्लेषण करने के एक शानदार तरीके के रूप में देखते हैं। गणित में हैं सही संख्याकुछ ऐसा जो बहुत से लोग नहीं जानते।

इस लेख में हम आपको वह सब कुछ बताने जा रहे हैं जो आपको पूर्ण संख्याओं और उनकी विशेषताओं के बारे में जानने के लिए आवश्यक है।

परफेक्ट नंबर क्या होते हैं?

मेर्सन प्राइम्स खोजने के बारे में सभी सही संख्याएं हैं। वास्तव में, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक IX का प्रस्ताव 36 कहता है कि यदि मेर्सन संख्या 2n-1 अभाज्य है, तो 2n-1 (2n-1) एक पूर्ण संख्या है।

रेने डेसकार्टेस ने मेसन को लिखे एक पत्र में पुष्टि की कि कोई भी संख्या यूक्लिड थी, लेकिन उन्होंने अपने सिद्धांत को साबित नहीं किया। इसके बजाय, स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलेर वह कार्टेशियन अवलोकन का प्रदर्शन करने वाले पहले व्यक्ति थे। यूक्लिड और यूलर के परिणामों का संयोजन पूर्ण संख्याओं का एक पूर्ण लक्षण वर्णन प्राप्त करने की अनुमति देता है।

पहले चार पूर्ण अंक प्राचीन काल से ज्ञात हैं। वे निको मार्कोस डी ग्राका और थियोन डी स्मिर्ना के कार्यों में दिखाई देते हैं। पांचवीं पूर्ण संख्या का उल्लेख लैटिन कोड 1456 में किया गया है। छठी और सातवीं पूर्ण संख्या की खोज XNUMX वीं शताब्दी में कैटाल्डी ने की थी, और 1772 में यूलर द्वारा आठवां।

इसलिए 1950 के दशक की शुरुआत में हम सही 12 नंबर जानते थे, लेकिन फिर GIMPS (ग्रेट इंटरनेट मेर्सन प्राइम सर्च) के लिए धन्यवाद, 1990 के दशक में तेजी से परिष्कृत तकनीक और कंप्यूटर के उपयोग के साथ खोज तेज हो गई।

यह किस लिए हैं

यदि कई गणितज्ञ अभाज्य संख्याओं को अंकगणित का आधार मानते हैं, तो पूर्ण संख्याओं का कोई विशेष उपयोग नहीं होता है, चूंकि उनका उपयोग समीकरणों, कारकों को हल करने या क्रिप्टोग्राफी के दायरे में प्रवेश करने के लिए नहीं किया जाता है।

प्राचीन काल में, उन्हें श्रेष्ठ माना जाता था, और किसी ने इसमें एक रहस्यमय भूमिका देखी: "छह अपने आप में एक पूर्ण संख्या है, इसलिए नहीं कि भगवान ने छह दिनों में सब कुछ बनाया, बल्कि इसलिए कि भगवान ने छह दिनों में सब कुछ बनाया क्योंकि संख्या परिपूर्ण है" - भगवान के शहर में सेंट ऑगस्टीन (420 ईस्वी)

वे गणित के रहस्यों में से एक हैं, और नई पूर्ण संख्याओं की खोज कई गणितज्ञों को आकर्षित करती रहती है।

पूर्ण संख्याओं के बारे में बहुत सारे अनुमान हैं। एक अनुमान एक नियम है जो कभी सिद्ध नहीं हुआ है। यहाँ तीन हैं:

• यूक्लिड की पूर्ण संख्या सभी सम संख्याएं हैं क्योंकि कारकों में से एक 2 की शक्ति है। लेकिन यह साबित करने के लिए कोई सबूत नहीं है कि कोई विषम पूर्ण संख्या नहीं है;
• सभी ज्ञात पूर्ण संख्याएँ 6 या 28 में समाप्त होती हैं, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है;
• न ही यह सिद्ध किया गया है कि वास्तव में अपरिमित रूप से अनेक पूर्ण संख्याएँ होती हैं।

सही संख्या क्या हैं

पूर्ण संख्या दुर्लभ हैं। जबकि सभी गणितज्ञ इस बात से सहमत हैं कि उनकी संख्या अनंत है (कभी सिद्ध नहीं हुई), आज हम केवल 50 जानते हैं और हम यह भी सुनिश्चित नहीं कर सकते हैं कि 47 के बाद से कोई पूर्ण माध्य संख्या नहीं खोजी गई है।

अंतिम पूर्ण संख्या जनवरी 2018 में खोजी गई थी। एक नए बहुत बड़े अभाज्य की खोज का अर्थ है एक नई पूर्ण संख्या की खोज, जो संख्या 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 की खोज है।

1000 से कम केवल तीन पूर्ण संख्याएँ हैं: 6, 28 और 496। स्पष्ट रूप से पूर्ण संख्याएँ भी 6 या 8 में समाप्त होती हैं, हालाँकि यह कभी सिद्ध नहीं हुआ है, हमेशा ऐसा नहीं होता है।

सूत्र 2n-1 (2n-1) में सम पूर्ण संख्याएँ त्रिभुज (या यहाँ तक कि षट्कोणीय) संख्याएँ होती हैं। दूसरी ओर, पहली पूर्ण सम संख्या को छोड़कर सभी सम संख्याएँ पहली विषम संख्याओं के 2(n-1)/2 घनों का योग होती हैं। उदाहरण के लिए:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

पहली आठ पूर्ण संख्याएँ हैं:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2।

कुछ इतिहास

सेंट ऑगस्टीन, जिसे हिप्पो के ऑगस्टाइन (354-430) के रूप में भी जाना जाता है, fवह एक रोमन दार्शनिक, लेखक, गणितज्ञ और पुजारी थे। यदि आपने दर्शनशास्त्र के विषय का अध्ययन किया है, तो नाम से आप परिचित होंगे, क्योंकि वह उन दार्शनिकों में से एक हैं जो आमतौर पर इस विषय का अध्ययन करते हैं। अपने समय के कई अन्य बुद्धिजीवियों की तरह, सेंट ऑगस्टाइन उन लोगों में से एक थे जिन्होंने दर्शनशास्त्र से लेकर गणित तक के क्षेत्रों में ज्ञान को विकसित और गहरा किया, आज हम जितना सोच सकते हैं, उससे कहीं अधिक देखने के लिए।

खैर, हिप्पो के ऑगस्टाइन ने कहा कि पूर्ण संख्याओं के मौजूद होने का एक कारण है। अपने काम द सिटी ऑफ गॉड में, उन्होंने समझाया कि 6 परिपूर्ण है क्योंकि भगवान ने छह दिनों में दुनिया का निर्माण किया। अगली संख्या, 28, चंद्रमा को एक बार पृथ्वी की परिक्रमा करने में लगने वाले दिनों की संख्या से मेल खाती है। यह कथन बिना विवाद, संयोग या नहीं है?

अगले दो नंबरों के लिए कोई स्पष्टीकरण नहीं दिया गया है। वे 496 और 8128 . हैं. पहली चार संख्याओं की खोज पहली शताब्दी ईस्वी में गेरासा के निकोमाचस द्वारा की गई थी, जो एक दार्शनिक और गणितज्ञ थे, जो प्राचीन शहर डेकापोलिस, अब जॉर्डन में रहते थे, जो रोमन साम्राज्य से संबंधित था।

पांचवीं पूर्ण संख्या को खोजने के लिए हमें इतिहास में एक बड़ी छलांग लगानी पड़ी जब तक कि हम पंद्रहवीं शताब्दी तक नहीं पहुंच गए, क्योंकि पांचवीं पूर्ण संख्या 33 550 336 इस शताब्दी से पांडुलिपियों में दिखाई दी। छठी और सातवीं, 8.589.869.056 और 137.438.691.328, की खोज एक सदी बाद, 1588 में, इतालवी गणितज्ञ पिएत्रो कैटाल्डी द्वारा की गई थी।

पूर्ण संख्याओं की तरह, Mersenne संख्याओं की केवल एक सीमित संख्या ही ज्ञात है। नंबरों का नाम मारिन मेसन के नाम पर रखा गया है, वह व्यक्ति जिसने उनके बारे में कई परिकल्पनाओं को उजागर किया. मेसन एक फ्रांसीसी दार्शनिक, गणितज्ञ और पुजारी (1588-1648) थे।

यह यूलर था जिसने मेसन द्वारा रखी गई नींव के लिए इन विशेष संख्याओं की खोज की थी। लियोनहार्ड पॉल यूलर (1707-1783) एक स्विस गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी थे। बेशक, उसका नाम आपको पहले से ही परिचित होगा, क्योंकि आठवें नंबर का सही पता लगाना उसकी एकमात्र उपलब्धि नहीं थी। इसका नाम यूलर की संख्या (ई) से भी मिला है। जिसका उपयोग कई भौतिक और कम्प्यूटेशनल फ़ार्मुलों में किया जाता है।

मुझे आशा है कि इस जानकारी से आप इन संख्याओं और उनकी विशेषताओं के बारे में अधिक जान सकते हैं।