क्लेन बोतल

टोपोलॉजी में, गणित की एक शाखा, क्लेन बोतल एक गैर-उन्मुख सतह का एक उदाहरण है। यह एक द्वि-आयामी मैनिफोल्ड है जिसके लिए सामान्य वैक्टर को निर्धारित करने के लिए एक प्रणाली को लगातार परिभाषित नहीं किया जा सकता है। अनौपचारिक रूप से, यह एक तरफा सतह है, जिसे यदि पार किया जाता है, तो यात्री के घूमते ही मूल स्थान पर वापस आ सकता है।

इस लेख में हम आपको क्लेन बोतल, इसकी विशेषताओं और जिज्ञासाओं के बारे में जानने के लिए आवश्यक सब कुछ बताने जा रहे हैं।

प्रमुख विशेषताएं

अन्य संबंधित गैर-उन्मुख वस्तुओं में मोबियस स्ट्रिप्स और सच्चे प्रक्षेपण विमान शामिल हैं। मोबियस स्ट्रिप्स सीमित सतह हैं, जबकि क्लेन की बोतलों की कोई सीमा नहीं है। तुलनात्मक रूप से, एक गोला एक असीम रूप से उन्मुख सतह है। क्लेन बोतल का वर्णन पहली बार 1882 में जर्मन गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन ने किया था।

लंदन के साइंस म्यूज़ियम में हाथ से उड़ाए गए क्लेन कांच की बोतलों का एक संग्रह प्रदर्शित किया गया है, जो इस टोपोलॉजिकल थीम पर कई विविधताएँ दिखा रहा है। बोतलें 1995 की हैं और संग्रहालय के लिए एलन बेनेट द्वारा बनाई गई थीं।

क्लेन की बोतल को ही पार नहीं किया जाता है। हालांकि, चार आयामों में निहित क्लेन बोतल की कल्पना करने का एक तरीका है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में चौथा आयाम जोड़कर स्व-चौराहों को हटाया जा सकता है। चौथे आयाम के साथ मूल 3D स्थान से चौराहे वाले ट्यूब अनुभाग को धीरे से धक्का दें। एक उपयोगी सादृश्य एक विमान को प्रतिच्छेद करने वाले वक्र पर विचार करना है। विमान से धागे उठाकर स्व-चौराहों को हटाया जा सकता है।

स्पष्ट करने के लिए, मान लें कि हम चौथे आयाम के रूप में समय लेते हैं। विचार करें कि xyzt स्थान में ग्राफ़ कैसे बनाया जाता है। संलग्न आंकड़ा ("समय के साथ विकास ...") इस आंकड़े का एक उपयोगी विकास दिखाता है। टी = 0 पर, दीवार "चौराहे" के पास कहीं अंकुरित होती है। आकृति के बड़े होने के बाद, दीवार का पहला भाग पीछे हटने लगा, चेशायर बिल्ली की तरह गायब हो गया, लेकिन अपनी चौड़ी मुस्कान को पीछे छोड़ते हुए. जब ग्रोथ फ्रंट पहुंच जाता है जहां शूट होता है, तो पार करने के लिए कुछ भी नहीं होता है और मौजूदा संरचना को छेड़छाड़ किए बिना विकास पूरा हो जाता है।

क्लेन बोतल गुण

क्लेन फ्लास्क एक गैर-उन्मुख सतह है जिसे अक्सर एक घुमावदार गर्दन के साथ लंबी गर्दन वाले फ्लास्क के रूप में चित्रित किया जाता है जिसे आधार के रूप में खोलने के लिए अंदर से पारित किया जाता है। क्लेन बोतल के अनूठे आकार का मतलब है कि इसकी केवल एक सतह है: अंदर बाहर के बराबर है। एक क्लेन बोतल वास्तव में त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मौजूद नहीं हो सकती है, लेकिन एक गिलास उड़ाने वाला प्रतिनिधित्व हमें कुछ दिलचस्प अंतर्दृष्टि दे सकता है। यह असली क्लेन बोतल नहीं है, लेकिन यह कल्पना करने में मदद करता है कि जर्मन गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन ने क्लेन बोतल के विचार के साथ क्या कल्पना की थी।

यदि प्रतीक एक उन्मुख सतह से जुड़ा हुआ है, जैसे कि एक गोले के बाहर, यह उसी अभिविन्यास को बनाए रखेगा चाहे आप इसे कैसे भी स्थानांतरित करें। क्लेन बोतल का विशेष आकार आपको प्रतीक को विभिन्न दिशाओं में स्लाइड करने की अनुमति देता है: यह एक ही सतह पर स्वयं की दर्पण छवि के रूप में प्रकट हो सकता है। क्लेन बोतल की यह संपत्ति इसे उन्मुख करना असंभव बनाती है।

क्लेन बोतल का नाम जर्मन गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन के नाम पर रखा गया है। गणित में फेलिक्स क्लेन के काम ने उन्हें मोबियस स्ट्रिप्स से बहुत परिचित कराया। मोबियस स्ट्रिप कागज की एक शीट होती है जिसे आधा मोड़ घुमाया जाता है और अंत से अंत तक जोड़ा जाता है। यह मोड़ कागज की एक साधारण शीट को एक गैर-उन्मुख सतह में बदल देता है। फेलिक्स क्लेन ने तर्क दिया कि यदि वह उनके किनारों के साथ दो मोबियस स्ट्रिप्स को जोड़ता है, तो वह एक ही अजीब गुणों के साथ एक नई प्रकार की सतह का निर्माण करेगा: एक क्लेन सतह या एक क्लेन बोतल।

क्लेन बोतल को एक गैर-उन्मुख सतह के रूप में वर्णित किया गया है क्योंकि यदि कोई प्रतीक सतह से जुड़ा हुआ है, तो यह इस तरह से स्लाइड कर सकता है कि वह दर्पण छवि के समान स्थिति में वापस आ सके।

क्या वास्तविक जीवन में क्लेन की बोतल बनाई जा सकती है?

दुर्भाग्य से हममें से जो असली क्लेन की बोतलें देखना चाहते हैं, उन्हें उस त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में नहीं बनाया जा सकता है जिसमें हम रहते हैं। क्लेन फ्लास्क बनाने के लिए दो मोबियस स्ट्रिप्स के किनारों को कनेक्ट करें यह ऐसे चौराहे बनाता है जो सैद्धांतिक मॉडल में मौजूद नहीं हैं। क्लेन बोतल के वास्तविक मॉडल को अपने आप ऊपर जाना पड़ा जब गर्दन किनारे से निकल गई। यह हमें कुछ ऐसा देता है जो वास्तव में एक कार्यात्मक क्लेन बोतल नहीं है, लेकिन फिर भी जांच करने में मजेदार है।

चूंकि क्लेन फ्लास्क मोबियस स्ट्रिप्स के साथ कई अजीब गुण साझा करते हैं, हममें से जिन्हें गणित की गहरी समझ नहीं है, वे वास्तव में क्लेन फ्लास्क की पेचीदगियों को समझने के लिए फेलिक्स क्लेन की मोएबियस स्ट्रिप्स आकर्षक खोज को आजमा सकते हैं।

क्लेन सतह

क्लिफोर्ड स्टोल इस विशाल क्लेन बोतल के डिजाइन के पीछे का आदमी है, जो 106 सेमी लंबा, 62,2 सेमी चौड़ा और 163,5 सेमी परिधि में मापता है। इसे किल्डी साइंटिफिक ग्लास ने 2001 और 2003 के बीच बनाया था।

वस्तु का मूल नाम क्लेन फ्लास्क (जर्मन क्लिंशे फ्लेश) नहीं था, बल्कि क्लेन सरफेस (जर्मन क्लिंशे फ्लैश) था। जर्मन से अंग्रेजी भ्रमित शब्दों में संदर्भ की पहली वस्तु का अनुवाद। एक बोतल की याद ताजा करने वाले 3D रेंडरिंग की उपस्थिति के कारण, शायद ही किसी ने बग पर ध्यान दिया हो।

यदि हम क्लेन बोतल को उसके समरूपता के तल के साथ दो भागों में विभाजित करते हैं, तो हम दो मोबियस स्ट्रिप्स बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक दूसरे की एक दर्पण छवि है (जैसे कि एक दर्पण में देख रहे थे)। फिर, क्लेन बोतल एक गैर-उन्मुख सतह का एक उदाहरण है, जैसा कि मोबियस स्ट्रिप है। इसका प्रतिनिधित्व करने के अलावा कोई अन्य कार्य नहीं है। ओरिएंटेबल या गैर-ओरिएंटेबल सतहें टोपोलॉजिकल अवधारणाएं हैं। दोनों एकतरफा सतहों के उदाहरण हैं, क्योंकि वे उन्मुख नहीं हैं। इसका जादू इसे पूरी तरह से निरंतर तरीके से पूरी तरह से कवर करने में सक्षम होने में निहित है, जो इसे बनाने वाले सभी बिंदुओं को कवर करता है।

मुझे उम्मीद है कि इस जानकारी से आप क्लेन बोतल और उसकी विशेषताओं के बारे में और जान सकते हैं।