nombres parfaits

Les mathématiques existent depuis le début. Si l'on en croit la découverte de l'os d'Ishango (il y a plus de 20.000 XNUMX ans), il s'agit peut-être de la première preuve de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication, mais le sujet reste controversé. Bien que les mathématiques restent un mystère pour beaucoup d'entre nous, elles sont considérées par certains comme un excellent moyen de comprendre et d'analyser le monde. En mathématiques, il y a nombres parfaitsQuelque chose que beaucoup de gens ne savent pas.

Dans cet article, nous allons vous dire tout ce que vous devez savoir sur les nombres parfaits et leurs caractéristiques.

quels sont les nombres parfaits

Les nombres parfaits consistent à trouver des nombres premiers de Mersenne. En fait, la proposition 36 du Livre IX des Éléments d'Euclide dit que si le nombre de Mersenne 2n – 1 est premier, alors 2n-1 (2n – 1) est un nombre parfait.

René Descartes a confirmé dans une lettre à Mason que tout nombre pair était Euclide, mais il n'a pas prouvé sa théorie. Au lieu de cela, le mathématicien suisse Leonhard Euler Il fut le premier à démontrer l'observation cartésienne. La combinaison des résultats d'Euclide et d'Euler permet d'obtenir une caractérisation complète des nombres parfaits.

Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité. Ils apparaissent dans les œuvres de Nico Marcos de Graça et Theon de Smyrna. Le cinquième nombre parfait est mentionné dans le code latin de 1456. Les sixième et septième nombres parfaits ont été découverts par Cataldi au XVIe siècle, et le huitième par Euler en 1772.

Ainsi au début des années 1950 on connaissait les 12 nombres parfaits, mais ensuite grâce à GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), la recherche s'est accélérée avec une technologie de plus en plus sophistiquée et l'utilisation des ordinateurs dans les années 1990.

À quoi servent-ils?

Si de nombreux mathématiciens considèrent les nombres premiers comme la base de l'arithmétique, alors les nombres parfaits n'ont pas d'utilité particulière, puisqu'ils ne sont pas utilisés pour résoudre des équations, factoriser ou entrer dans le domaine de la cryptographie.

Dans les temps anciens, ils étaient considérés comme supérieurs, et quelqu'un y voyait un rôle mystique : "Six lui-même est un nombre parfait, non pas parce que Dieu a tout créé en six jours, mais parce que Dieu a tout créé en six jours parce que le nombre est parfait" - Saint Augustin dans la Cité de Dieu (420 après JC)

Ils sont l'un des mystères des mathématiques, et la recherche de nouveaux nombres parfaits continue de fasciner de nombreux mathématiciens.

Il y a beaucoup de conjectures sur les nombres parfaits. Une conjecture est une règle qui n'a jamais été prouvée. En voici trois :

• Les nombres parfaits d'Euclide sont tous pairs car l'un des facteurs est une puissance de 2. Mais il n'y a aucune preuve pour prouver qu'il n'y a pas de nombres parfaits impairs;
• Tous les nombres parfaits connus se terminent par 6 ou 28, mais ce n'est pas toujours le cas ;
• Il n'a pas non plus été prouvé qu'il existe effectivement une infinité de nombres parfaits.

quels sont les nombres parfaits

Les nombres parfaits sont rares. Alors que tous les mathématiciens s'accordent à dire qu'il en existe un nombre infini (jamais prouvé), aujourd'hui, nous n'en connaissons que 50 et nous ne pouvons même pas être sûrs qu'il n'existe pas de nombre moyen parfait non découvert depuis 47.

Le dernier nombre parfait a été découvert en janvier 2018. La découverte d'un nouveau nombre premier très grand signifie la découverte d'un nouveau nombre parfait, qui est la découverte du nombre 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Il n'y a que trois nombres parfaits inférieurs à 1000 : 6, 28 et 496. Apparemment même les nombres parfaits se terminent par 6 ou 8, bien que cela n'ait jamais été prouvé, ce n'est pas toujours le cas.

Les nombres parfaits pairs dans la formule 2n-1 (2n – 1) sont des nombres triangulaires (voire hexagonaux). D'autre part, tous les nombres pairs sauf le premier nombre parfaitement pair sont la somme de 2(n-1)/2 cubes des premiers nombres impairs. Par exemple:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

Les huit premiers nombres parfaits sont :

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843 008 139 952 128.

Un peu d'histoire

Saint Augustin, également connu sous le nom d'Augustin d'Hippone (354-430), fIl était philosophe, écrivain, mathématicien et prêtre romain. Si vous avez étudié le sujet de la philosophie, le nom vous sera familier, car il fait partie des philosophes qui étudient habituellement le sujet. Comme beaucoup d'autres intellectuels de son temps, saint Augustin a été l'un de ceux qui ont développé et approfondi des connaissances dans des domaines allant de la philosophie aux mathématiques, avec bien plus à voir que ce que nous pouvons imaginer aujourd'hui.

Eh bien, Augustin d'Hippone a dit que les nombres parfaits ont une raison d'exister. Dans son ouvrage La Cité de Dieu, il explique que 6 est parfait car Dieu a créé le monde en six jours. Le chiffre suivant, 28, correspond au nombre de jours nécessaires à la Lune pour faire une fois le tour de la Terre. Cette affirmation n'est pas sans polémique, coïncidence ou non ?

Aucune explication n'est donnée pour les deux chiffres suivants. Ils sont 496 et 8128. Les quatre premiers nombres ont été découverts dès le XNUMXer siècle de notre ère par Nicomaque de Gérasa, un philosophe et mathématicien qui vivait dans l'ancienne ville de Décapole, aujourd'hui la Jordanie, qui appartenait à l'Empire romain.

Pour trouver le cinquième nombre parfait, il a fallu faire un grand saut dans l'histoire jusqu'au XVe siècle, puisque le cinquième nombre parfait 33 550 336 est apparu dans les manuscrits de ce siècle. Les sixième et septième, 8.589.869.056 137.438.691.328 1588 XNUMX et XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX, ont été découvertes un siècle plus tard, en XNUMX, par le mathématicien italien Pietro Cataldi.

Comme les nombres parfaits, seul un nombre fini de nombres de Mersenne est connu. Les numéros portent le nom de Marin Mason, l'homme qui a exposé une série d'hypothèses à leur sujet. Mason était un philosophe, mathématicien et prêtre français (1588-1648).

C'est Euler qui a découvert ces nombres spéciaux, grâce aux fondations posées par Mason. Leonhard Paul Euler (1707-1783) était un mathématicien et physicien suisse. Bien sûr, son nom vous sera déjà familier, car trouver le huitième numéro parfait n'était pas sa seule réussite. Il tire également son nom du nombre d'Euler (e), qui est utilisé dans de nombreuses formules physiques et informatiques.

J'espère qu'avec ces informations, vous pourrez en apprendre davantage sur ces chiffres et leurs caractéristiques.