täydelliset numerot

Matematiikka on ollut olemassa alusta asti. Jos Ishangon luun löytöä (yli 20.000 XNUMX vuotta sitten) uskoa, se saattoi olla ensimmäinen todiste ensimmäisten alkulukujen ja kertolaskujen tiedosta, mutta aihe on edelleen kiistanalainen. Vaikka matematiikka on edelleen mysteeri monille meistä, jotkut pitävät sitä loistavana tapana ymmärtää ja analysoida maailmaa. Matematiikassa niitä on täydelliset numerotAsia, jota monet eivät tiedä.

Tässä artikkelissa kerromme sinulle kaiken, mitä sinun tulee tietää täydellisistä luvuista ja niiden ominaisuuksista.

mitkä ovat täydelliset luvut

Täydelliset luvut liittyvät Mersennen alkulukujen löytämiseen. Itse asiassa Euklidesin elementtien IX kirjan lause 36 sanoo, että jos Mersennen luku 2n – 1 on alkuluku, niin 2n-1 (2n – 1) on täydellinen luku.

René Descartes vahvisti Masonille lähettämässään kirjeessä, että mikä tahansa parillinen luku oli Euclid, mutta hän ei todistanut teoriaansa. Sen sijaan sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler Hän esitti ensimmäisenä karteesisen havainnon. Euclidin ja Eulerin tulosten yhdistelmä mahdollistaa täydellisen luonnehdinnan täydellisistä luvuista.

Ensimmäiset neljä täydellistä numeroa on tiedetty muinaisista ajoista lähtien. Ne esiintyvät Nico Marcos de Graçan ja Theon de Smyrnan teoksissa. Viides täydellinen luku mainitaan latinalaisessa koodissa vuodelta 1456. Cataldi löysi kuudennen ja seitsemännen täydellisen luvun XNUMX-luvulla, ja kahdeksas Euler vuonna 1772.

Joten 1950-luvun alussa tiesimme täydelliset 12 numeroa, mutta sitten GIMPS:n (Great Internet Mersenne Prime Search) ansiosta haku nopeutui 1990-luvulla yhä kehittyneemmällä tekniikalla ja tietokoneiden käytöllä.

Mihin tarkoitukseen ne ovat

Jos monet matemaatikot pitävät alkulukuja aritmeettisen perustana, niin täydellisillä luvuilla ei ole erityistä käyttöä, koska niitä ei käytetä yhtälöiden ratkaisemiseen, kertomiseen tai kryptografian piiriin.

Muinaisina aikoina heitä pidettiin parempana, ja joku näki siinä mystisen roolin: "Kuusi itsessään on täydellinen luku, ei siksi, että Jumala loi kaiken kuudessa päivässä, vaan koska Jumala loi kaiken kuudessa päivässä, koska luku on täydellinen" - Pyhä Augustinus Jumalan kaupungissa (420 jKr.)

Ne ovat yksi matematiikan mysteereistä, ja uusien täydellisten lukujen etsiminen kiehtoo edelleen monia matemaatikoita.

Täydellisistä numeroista on paljon arvailua. Oletus on sääntö, jota ei ole koskaan todistettu. Tässä on kolme:

• Eukleideen täydellisiä lukuja ovat kaikki parillisia lukuja, koska yksi tekijöistä on luvun 2 potenssi. Mutta ei ole todisteita siitä, etteikö ole olemassa parittomia täydellisiä lukuja;
• Kaikki tunnetut täydelliset luvut päättyvät numeroihin 6 tai 28, mutta näin ei aina ole;
• Ei myöskään ole todistettu, että täydellisiä lukuja on todellakin äärettömän monta.

mitkä ovat täydelliset luvut

Täydelliset luvut ovat harvinaisia. Vaikka kaikki matemaatikot ovat yhtä mieltä siitä, että heitä on ääretön määrä (ei koskaan todistettu), nykyään tiedämme vain 50, emmekä voi edes olla varmoja, etteikö 47:n jälkeen ole löydetty täydellistä keskimääräistä lukua.

Viimeinen täydellinen luku löydettiin tammikuussa 2018. Uuden erittäin suuren alkuluvun löytäminen tarkoittaa uuden täydellisen luvun, joka on luvun 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1, löytämistä.

Täydellisiä lukuja alle 1000 on vain kolme: 6, 28 ja 496. Ilmeisesti jopa täydelliset luvut päättyvät 6:een tai 8:aan, vaikka tätä ei ole koskaan todistettu, se ei aina pidä paikkaansa.

Parilliset täydelliset luvut kaavassa 2n-1 (2n – 1) ovat kolmion (tai jopa kuusikulmaisen) lukuja. Toisaalta kaikki parilliset luvut ensimmäistä täysin parillista lukuun ottamatta ovat ensimmäisten parittomien lukujen 2(n-1)/2 kuution summa. Esimerkiksi:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

Ensimmäiset kahdeksan täydellistä numeroa ovat:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843 008 139 952 128.

Jotkut historiaa

Pyhä Augustinus, joka tunnetaan myös nimellä Augustinus Hippo (354-430), fHän oli roomalainen filosofi, kirjailija, matemaatikko ja pappi. Jos olet opiskellut filosofiaa, nimi on sinulle tuttu, koska hän on yksi filosofeista, joka yleensä opiskelee aihetta. Kuten monet muut aikansa intellektuellit, pyhä Augustinus oli yksi niistä, jotka kehittivät ja syvensivät tietoa filosofiasta matematiikkaan, ja heillä oli paljon enemmän nähtävää kuin voimme kuvitella nykyään.

No, Augustinus Hippo sanoi, että täydellisillä luvuilla on syy olla olemassa. Teoksessaan The City of God hän selitti, että 6 on täydellinen, koska Jumala loi maailman kuudessa päivässä. Seuraava luku, 28, vastaa päivien määrää, jonka Kuu kestää kerran kiertää Maan. Tämä lausunto ei ole vailla kiistaa, sattumaa vai ei?

Kahdelle seuraavalle numerolle ei anneta selitystä. Ne ovat 496 ja 8128. Ensimmäiset neljä numeroa löysi jo XNUMX. vuosisadalla jKr. Nicomachus Gerasalainen, filosofi ja matemaatikko, joka asui muinaisessa Decapoliksen kaupungissa, nykyisessä Jordaniassa, joka kuului Rooman valtakuntaan.

Viidennen täydellisen luvun löytämiseksi meidän piti ottaa suuri harppaus historiassa, kunnes saavuimme 33-luvulle, sillä viides täydellinen luku 550 336 8.589.869.056 esiintyi tämän vuosisadan käsikirjoituksissa. Kuudes ja seitsemäs, 137.438.691.328 1588 XNUMX XNUMX ja XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX, löysivät sata vuotta myöhemmin, vuonna XNUMX, italialainen matemaatikko Pietro Cataldi.

Kuten täydelliset luvut, vain rajallinen määrä Mersennen lukuja tunnetaan. Numerot on nimetty Marin Masonin mukaan, mies, joka paljasti sarjan hypoteeseja heistä. Mason oli ranskalainen filosofi, matemaatikko ja pappi (1588-1648).

Euler löysi nämä erikoisluvut Masonin luoman perustan ansiosta. Leonhard Paul Euler (1707-1783) oli sveitsiläinen matemaatikko ja fyysikko. Tietysti hänen nimensä on sinulle jo tuttu, koska täydellisen kahdeksannen numeron löytäminen ei ollut hänen ainoa saavutus. Se sai myös nimensä Eulerin numerosta (e), jota käytetään monissa fysikaalisissa ja laskennallisissa kaavoissa.

Toivon, että näiden tietojen avulla voit oppia lisää näistä numeroista ja niiden ominaisuuksista.