täiuslikud numbrid

Matemaatika on eksisteerinud algusest peale. Kui Ishango luu avastamist (üle 20.000 XNUMX aasta tagasi) uskuda, võis see olla esimene tõend esimeste algarvude ja korrutamise tundmise kohta, kuid teema on endiselt vastuoluline. Kuigi matemaatika jääb paljudele meist mõistatuseks, peavad mõned seda suurepäraseks viisiks maailma mõistmiseks ja analüüsimiseks. Matemaatikas on täiuslikud numbridMidagi, mida paljud ei tea.

Selles artiklis räägime teile kõike, mida peate teadma täiuslike numbrite ja nende omaduste kohta.

mis on täiuslikud numbrid

Täiuslikud arvud on seotud Mersenne'i algarvude leidmisega. Tegelikult ütleb Eukleidese elementide IX raamatu väide 36, et kui Mersenne'i arv 2n – 1 on algarv, siis 2n-1 (2n – 1) on täiuslik arv.

René Descartes kinnitas Masonile saadetud kirjas, et iga paarisarv on Euclid, kuid ta ei tõestanud oma teooriat. Selle asemel Šveitsi matemaatik Leonhard Euler Ta oli esimene, kes demonstreeris Descartes'i vaatlust. Eukleidese ja Euleri tulemuste kombinatsioon võimaldab saada täiuslike arvude täieliku iseloomustuse.

Esimesed neli täiuslikku numbrit on teada iidsetest aegadest. Need esinevad Nico Marcos de Graça ja Theon de Smyrna töödes. Viiendat täiuslikku arvu mainitakse 1456. aasta ladina koodeksis. Kuuenda ja seitsmenda täiusliku arvu avastas Cataldi XNUMX. sajandil, ja kaheksanda Euleri poolt 1772. aastal.

Nii et 1950. aastate alguses teadsime täiuslikku 12 numbrit, kuid siis tänu GIMPS-ile (Great Internet Mersenne Prime Search) kiirenes otsing 1990. aastatel üha keerukama tehnoloogia ja arvutite kasutamisega.

Milleks need on

Kui paljud matemaatikud peavad aritmeetika aluseks algarve, siis täiuslikel arvudel pole erilist kasu, kuna neid ei kasutata võrrandite lahendamiseks, faktorite tegemiseks ega krüptograafia valdkonda sisenemiseks.

Iidsetel aegadel peeti neid paremaks ja keegi nägi selles müstilist rolli: "Kuus ise on täiuslik arv, mitte sellepärast, et Jumal lõi kõik kuue päevaga, vaid sellepärast, et Jumal lõi kõik kuue päevaga, sest arv on täiuslik." Püha Augustinus Jumala linnas (420 pKr)

Need on üks matemaatika mõistatusi ja uute täiuslike arvude otsimine köidab jätkuvalt paljusid matemaatikuid.

Täiuslike numbrite osas on palju oletusi. Oletus on reegel, mida pole kunagi tõestatud. Siin on kolm:

• Eukleidese täiuslikud numbrid on kõik paarisarvud, sest üks tegureid on 2. aste. Kuid pole tõendeid selle kohta, et paarituid täiuslikke arve pole olemas;
• Kõik teadaolevad täiuslikud arvud lõpevad numbritega 6 või 28, kuid see pole alati nii;
• Samuti pole tõestatud, et täiuslikke arve on tõepoolest lõpmatult palju.

millised on ideaalsed numbrid

Täiuslikud numbrid on haruldased. Kuigi kõik matemaatikud nõustuvad, et neid on lõpmatu arv (pole kunagi tõestatud), täna teame ainult 50 ja me ei saa isegi kindlad olla, et pole täiuslikku keskmist numbrit avastamata alates 47. aastast.

Viimane täiuslik arv avastati 2018. aasta jaanuaris. Uue väga suure algarvu avastamine tähendab uue täiusliku arvu avastamist, milleks on arvu 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 avastamine.

Alla 1000 on ainult kolm täiuslikku arvu: 6, 28 ja 496. Ilmselt lõpevad isegi täiuslikud arvud numbritega 6 või 8, kuigi seda pole kunagi tõestatud, pole see alati nii.

Paaris täiuslikud arvud valemis 2n-1 (2n – 1) on kolmnurksed (või isegi kuusnurksed) arvud. Teisest küljest on kõik paarisarvud, välja arvatud esimene täiesti paarisarv, esimeste paaritute arvude 2(n-1)/2 kuubi summa. Näiteks:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

Esimesed kaheksa täiuslikku numbrit on:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843 008 139 952 128

Mõned ajalugu

Püha Augustinus, tuntud ka kui Hippo Augustinus (354–430), fTa oli Rooma filosoof, kirjanik, matemaatik ja preester. Kui olete filosoofia ainet õppinud, on see nimi teile tuttav, kuna ta on üks filosoofidest, kes seda ainet tavaliselt uurib. Nagu paljud teised oma aja intellektuaalid, oli ka Püha Augustinus üks neist, kes arendas ja süvendas teadmisi valdkondades, mis ulatuvad filosoofiast matemaatikani, ning neil on palju rohkem näha, kui me praegu ette kujutame.

Noh, Hippo Augustinus ütles, et täiuslikel numbritel on põhjus eksisteerida. Oma teoses The City of God selgitas ta, et 6 on täiuslik, sest Jumal lõi maailma kuue päevaga. Järgmine arv, 28, vastab päevade arvule, mis kulub Kuu kord Maa ümber tiirutamiseks. See väide pole vastuoluline, kokkusattumus või mitte?

Kahe järgmise numbri kohta selgitust ei anta. Need on 496 ja 8128. Esimesed neli numbrit avastas juba XNUMX. sajandil pKr filosoof ja matemaatik Nicomachus of Gerasa, kes elas iidses Rooma impeeriumile kuulunud Decapolise linnas, praeguses Jordaanias.

Viienda täiusliku numbri leidmiseks pidime tegema suure ajaloohüppe, kuni jõudsime viieteistkümnendasse sajandisse, sest viies täiuslik arv 33 550 336 ilmus selle sajandi käsikirjadesse. Kuuenda ja seitsmenda, 8.589.869.056 137.438.691.328 1588 XNUMX ja XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX, avastas sajand hiljem, XNUMX. aastal Itaalia matemaatik Pietro Cataldi.

Nagu täiuslikud arvud, on teada ainult piiratud arv Mersenne'i arve. Numbrid on nimetatud Marin Masoni järgi, mees, kes paljastas nende kohta rea ​​hüpoteese. Mason oli prantsuse filosoof, matemaatik ja preester (1588-1648).

Just Euler avastas need erilised numbrid tänu Masoni rajatud alusele. Leonhard Paul Euler (1707-1783) oli Šveitsi matemaatik ja füüsik. Muidugi on tema nimi teile juba tuttav, sest täiusliku kaheksanda numbri leidmine polnud tema ainus saavutus. Samuti sai see oma nime Euleri numbri järgi (e), mida kasutatakse paljudes füüsikalistes ja arvutusvalemites.

Loodan, et selle teabe abil saate nende numbrite ja nende omaduste kohta rohkem teada.