في الطوبولوجيا ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، زجاجة كلاين هو مثال على سطح غير قابل للتوجيه. وهو عبارة عن مشعب ثنائي الأبعاد لا يمكن تحديد نظام له بشكل ثابت لتحديد المتجهات العادية. بشكل غير رسمي ، إنه سطح أحادي الجانب ، إذا تم تجاوزه ، يمكن اتباعه مرة أخرى إلى الأصل عندما يستدير المسافر.
سنخبرك في هذه المقالة بكل ما تحتاج لمعرفته حول زجاجة كلاين وخصائصها وفضولها.
الملامح الرئيسية
تشمل الكائنات الأخرى غير القابلة للتوجيه شرائط موبيوس وطائرات الإسقاط الحقيقية. شرائط Mobius عبارة عن أسطح محدودة ، بينما زجاجات Klein ليس لها حدود. وبالمقارنة ، فإن الكرة هي سطح قابل للتوجيه بلا حدود. تم وصف زجاجة كلاين لأول مرة في عام 1882 من قبل عالم الرياضيات الألماني فيليكس كلاين.
يتم عرض مجموعة من الزجاجات المنفوخة يدويًا من كلاين في متحف العلوم في لندن ، والتي تُظهر العديد من الاختلافات حول هذا الموضوع الطوبولوجي. يعود تاريخ الزجاجات إلى عام 1995 وصنعها آلان بينيت للمتحف.
زجاجة كلاين نفسها غير متقاطعة. ومع ذلك، هناك طريقة لتصور زجاجة كلاين المضمنة بأربعة أبعاد. يمكن إزالة التقاطعات الذاتية عن طريق إضافة بعد رابع في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ادفع برفق قسم أنبوب يحتوي على التقاطع خارج المساحة ثلاثية الأبعاد الأصلية على طول البعد الرابع. تشبيه مفيد هو النظر في منحنى يتقاطع مع مستوى. يمكن إزالة التقاطعات الذاتية عن طريق رفع الخيوط عن الطائرة.
للتوضيح ، لنفترض أننا نأخذ الوقت على أنه البعد الرابع. ضع في اعتبارك كيفية إنشاء رسم بياني في مساحة xyzt. يوضح الشكل المرفق ("التطور بمرور الوقت ...") تطورًا مفيدًا لهذا الشكل. عند t = 0 ، ينبت الجدار في مكان ما بالقرب من "التقاطع". بعد أن كبر الشكل ، بدأ الجزء الأول من الجدار في الانحسار ، واختفى مثل قطة شيشاير ، لكن تاركا وراءه ابتسامته الواسعة. عندما تصل جبهة النمو إلى مكان التصوير ، فلا يوجد شيء يمكن عبوره ويكتمل النمو دون اختراق الهيكل الحالي.
خصائص زجاجة كلاين
قارورة كلاين عبارة عن سطح غير قابل للتوجيه يتم تصويره غالبًا على أنه دورق طويل العنق بعنق منحني يتم تمريره من الداخل لفتحه كقاعدة. الشكل الفريد لزجاجة كلاين يعني أن لها سطحًا واحدًا فقط: الداخل يساوي الخارج. لا يمكن أن توجد زجاجة كلاين في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، لكن التمثيل النفخ بالزجاج يمكن أن يعطينا بعض الأفكار المثيرة للاهتمام. هذه ليست زجاجة كلاين حقيقية ، لكنه يساعد في تصور ما تخيله عالم الرياضيات الألماني فيليكس كلاين عندما جاء بفكرة زجاجة كلاين.
إذا كان الرمز مرتبطًا بسطح قابل للتوجيه ، مثل السطح الخارجي للكرة ، فسيحافظ على نفس الاتجاه بغض النظر عن كيفية تحريكه. يسمح لك الشكل الخاص لزجاجة كلاين بتحريك الرمز في اتجاهات مختلفة: يمكن أن يظهر كصورة معكوسة لنفسه على نفس السطح. تجعل خاصية زجاجة كلاين من المستحيل توجيهها.
تمت تسمية زجاجة كلاين على اسم عالم الرياضيات الألماني فيليكس كلاين. جعله عمل فيليكس كلاين في الرياضيات على دراية كبيرة بشرائط موبيوس. شريط Möbius عبارة عن ورقة يتم تدويرها نصف دورة ومتصلة من طرف إلى طرف. يؤدي هذا الالتواء إلى تحويل ورقة عادية إلى سطح غير قابل للتوجيه. استنتج فيليكس كلاين أنه إذا انضم إلى شريحتين من موبيوس على طول حوافهما ، فإنه سيخلق نوعًا جديدًا من السطح له نفس الخصائص الغريبة: سطح كلاين أو زجاجة كلاين.
توصف زجاجة كلاين بأنها سطح غير قابل للتوجيه لأنه إذا تم إرفاق رمز بالسطح ، فيمكن أن ينزلق بطريقة تمكنه من العودة إلى نفس موضع صورة معكوسة.
هل يمكن صنع زجاجة كلاين في الحياة الواقعية؟
لسوء الحظ بالنسبة لأولئك منا الذين يرغبون في رؤية زجاجات Klein الحقيقية ، لا يمكن بناؤها في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد الذي نعيش فيه. قم بتوصيل حواف شريحتين من موبيوس لبناء دورق كلاين يخلق تقاطعات غير موجودة في النماذج النظرية. كان على النموذج الفعلي لزجاجة كلاين أن يمر فوق نفسه عندما تنفصل الرقبة عن الجانب. يمنحنا هذا شيئًا ليس حقًا زجاجة Klein وظيفية ، ولكن لا يزال من الممتع فحصها.
نظرًا لأن قوارير كلاين تشترك في العديد من الخصائص الغريبة مع شرائط موبيوس ، فإن أولئك منا الذين ليس لديهم فهم عميق للرياضيات لفهم تعقيدات قوارير كلاين يمكنهم تجربة اكتشاف شرائط موبيوس الرائعة في فيليكس كلاين.
سطح كلاين
كليفورد ستول هو الرجل الذي يقف وراء تصميم زجاجة كلاين العملاقة ، والتي يبلغ ارتفاعها 106 سم وعرضها 62,2 سم ومحيطها 163,5 سم. تم بناؤه بواسطة Kildee Scientific Glass بين عامي 2001 و 2003.
الاسم الأصلي للكائن لم يكن Klein Flask (German Kleinsche Flasche) ، ولكن Klein Surface (German Kleinsche Fläche). ترجمة المرجع الأول من الألمانية إلى الكلمات المشوشة الإنجليزية. نظرًا لظهور العرض ثلاثي الأبعاد الذي يذكرنا بالزجاجة ، لم يلاحظ أي شخص الخطأ.
إذا قمنا بتقسيم زجاجة كلاين إلى قسمين على طول مستوى التناظر الخاص بها ، فإننا نصنع شريطين من موبيوس ، كل منهما عبارة عن صورة معكوسة للآخر (كما لو كان أحدهما ينظر في المرآة). ثم، زجاجة كلاين هي مثال على سطح غير قابل للتوجيه ، كما هو الحال في شريط موبيوس. ليس لها وظيفة أخرى سوى تمثيلها. الأسطح القابلة للتوجيه أو غير القابلة للتوجيه هي مفاهيم طوبولوجية. كلاهما مثالان على الأسطح أحادية الجانب ، حيث إنهما غير قابلين للتوجيه. يكمن سحرها في قدرتها على تغطيتها بالكامل بطريقة مستمرة تمامًا ، تغطي جميع النقاط التي تشكلها.
آمل أن تتمكن من خلال هذه المعلومات من معرفة المزيد عن زجاجة كلاين وخصائصها.