ขวดไคลน์

ในโทโพโลยี เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ขวดไคลน์ เป็นตัวอย่างของพื้นผิวที่ไม่ปรับทิศทางได้ เป็นท่อร่วมสองมิติซึ่งระบบไม่สามารถกำหนดอย่างสม่ำเสมอเพื่อกำหนดเวกเตอร์ปกติได้ อย่างไม่เป็นทางการคือพื้นผิวด้านเดียวที่หากผ่านไปแล้วสามารถติดตามกลับไปยังจุดเริ่มต้นได้เมื่อผู้เดินทางหันหลังกลับ

ในบทความนี้เราจะมาพูดถึงทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับขวด Klein คุณลักษณะและความอยากรู้ของขวด

คุณสมบัติหลัก

วัตถุที่ไม่อยู่ในทิศทางอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง ได้แก่ แถบโมบิอุสและระนาบการฉายจริง แถบ Mobius นั้นมีพื้นผิวที่จำกัด ในขณะที่ขวดของ Klein นั้นไม่มีข้อจำกัด โดยการเปรียบเทียบ ทรงกลมเป็นพื้นผิวที่ปรับทิศทางได้ไม่จำกัด ขวดไคลน์ได้รับการอธิบายครั้งแรกในปี พ.ศ. 1882 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อเฟลิกซ์ ไคลน์

คอลเล็กชั่นขวดแก้วของไคลน์เป่าด้วยมือจัดแสดงอยู่ที่พิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ในลอนดอน โดยแสดงให้เห็นรูปแบบต่างๆ มากมายในธีมทอพอโลยีนี้ ขวดมีอายุตั้งแต่ปี 1995 และผลิตโดย Alan Bennett สำหรับพิพิธภัณฑ์

ขวดของไคลน์เองไม่ได้ถูกข้าม อย่างไรก็ตาม, มีวิธีทำให้เห็นภาพขวดของ Klein ที่บรรจุอยู่ในสี่มิติ ทางแยกสามารถลบออกได้โดยการเพิ่มมิติที่สี่ในพื้นที่สามมิติ ค่อยๆ ดันส่วนท่อที่มีทางแยกออกจากพื้นที่ 3D เดิมตามมิติที่สี่ การเปรียบเทียบที่เป็นประโยชน์คือการพิจารณาเส้นโค้งที่ตัดกับระนาบ ทางแยกสามารถถอดออกได้โดยยกเกลียวขึ้นจากระนาบ

เพื่อความกระจ่าง สมมติว่าเราใช้เวลาเป็นมิติที่สี่ พิจารณาวิธีสร้างกราฟในพื้นที่ xyzt รูปที่แนบมา (“วิวัฒนาการเมื่อเวลาผ่านไป…”) แสดงให้เห็นถึงวิวัฒนาการที่มีประโยชน์ของรูปนี้ ที่ t = 0 ผนังแตกหน่อที่ไหนสักแห่งใกล้ "ทางแยก" หลังจากที่ร่างใหญ่ขึ้น ส่วนแรกของกำแพงก็เริ่มถดถอย หายไปราวกับแมวเชสเชอร์ แต่ทิ้งรอยยิ้มอันกว้างใหญ่ของเขาไว้. เมื่อส่วนหน้าของการเติบโตไปถึงจุดที่ถ่ายภาพ ไม่มีอะไรให้ข้ามและการเติบโตจะสมบูรณ์โดยไม่ต้องเจาะโครงสร้างที่มีอยู่

คุณสมบัติของขวดไคลน์

กระติกน้ำไคลน์เป็นพื้นผิวที่ปรับทิศทางไม่ได้ ซึ่งมักถูกมองว่าเป็นขวดคอยาวที่มีคอโค้งที่ส่งผ่านจากด้านในเพื่อเปิดเป็นฐาน รูปทรงที่เป็นเอกลักษณ์ของขวด Klein หมายความว่ามีพื้นผิวเพียงด้านเดียว: ด้านในเท่ากับด้านนอก ขวดของไคลน์ไม่สามารถมีอยู่จริงในพื้นที่สามมิติแบบยุคลิด แต่การเป่าแก้วสามารถให้ข้อมูลเชิงลึกที่น่าสนใจแก่เรา นี่ไม่ใช่ขวดไคลน์แท้ แต่มันช่วยให้เห็นภาพว่านักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อเฟลิกซ์ ไคลน์จินตนาการถึงอะไร เมื่อเขาคิดไอเดียสำหรับขวดไคลน์

หากสัญลักษณ์ติดอยู่กับพื้นผิวที่ปรับทิศทางได้ เช่น ด้านนอกของทรงกลม สัญลักษณ์จะยังคงอยู่ในแนวเดียวกันไม่ว่าคุณจะเคลื่อนที่อย่างไร ขวดรูปทรงพิเศษของ Klein ช่วยให้คุณเลื่อนสัญลักษณ์ไปในทิศทางต่างๆ ได้ โดยสามารถปรากฏเป็นภาพสะท้อนของตัวเองบนพื้นผิวเดียวกันได้ คุณสมบัติของขวด Klein ทำให้ไม่สามารถปรับทิศทางได้

ขวดไคลน์ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อเฟลิกซ์ ไคลน์ งานของเฟลิกซ์ ไคลน์ในวิชาคณิตศาสตร์ทำให้เขาคุ้นเคยกับแถบโมบิอุสเป็นอย่างมาก แถบโมบิอุสคือแผ่นกระดาษที่หมุนครึ่งรอบและต่อจากด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง บิดนี้เปลี่ยนแผ่นกระดาษธรรมดาเป็นพื้นผิวที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้ เฟลิกซ์ ไคลน์ให้เหตุผลว่าหากเขาเชื่อมแถบโมบิอุสสองแถบตามขอบ เขาจะสร้างพื้นผิวประเภทใหม่ที่มีคุณสมบัติแปลกประหลาดเหมือนกัน นั่นคือ พื้นผิวของไคลน์หรือขวดไคลน์

ขวดของ Klein ถูกอธิบายว่าเป็นพื้นผิวที่ไม่ปรับทิศทางได้ เนื่องจากหากติดสัญลักษณ์ไว้กับพื้นผิว ก็สามารถเลื่อนในลักษณะที่สามารถกลับไปยังตำแหน่งเดียวกับภาพสะท้อนในกระจกได้

ขวดKlein ในชีวิตจริงได้ไหม?

น่าเสียดายสำหรับพวกเราที่ต้องการเห็นขวดของจริงของไคลน์ พวกเขาไม่สามารถสร้างขึ้นในพื้นที่สามมิติแบบยุคลิดที่เราอาศัยอยู่ได้ เชื่อมต่อขอบของแถบ Möbius สองเส้นเพื่อสร้างขวด Klein มันสร้างทางแยกที่ไม่มีอยู่ในแบบจำลองทางทฤษฎี ขวดรุ่นของ Klein แท้จริงแล้วต้องพลิกคว่ำเมื่อคอหลุดออกจากด้านข้าง สิ่งนี้ทำให้เรามีบางอย่างที่ไม่ใช่ขวดไคลน์ที่ใช้งานได้จริง แต่ก็ยังสนุกที่จะตรวจสอบ

เนื่องจากขวดของ Klein มีคุณสมบัติที่แปลกประหลาดหลายอย่างร่วมกับแถบ Möbius พวกเราที่ไม่มีความเข้าใจอย่างลึกซึ้งในวิชาคณิตศาสตร์จึงจะเข้าใจความซับซ้อนของขวดของ Klein ได้จริงๆ สามารถลองใช้แถบ Moebius ของ Felix Klein ได้ การค้นหาที่น่าสนใจ

พื้นผิวไคลน์

Clifford Stoll เป็นคนที่อยู่เบื้องหลังการออกแบบขวด Klein ขนาดยักษ์นี้ ซึ่งมีขนาดสูง 106 ซม. กว้าง 62,2 ซม. และเส้นรอบวง 163,5 ซม. สร้างขึ้นโดย Kildee Scientific Glass ระหว่างปี 2001 ถึง 2003

ชื่อเดิมของวัตถุไม่ใช่ Klein Flask (German Kleinsche Flasche) แต่เป็น Klein Surface (German Kleinsche Fläche) การแปลวัตถุอ้างอิงตัวแรกจากภาษาเยอรมันเป็นคำที่สับสนในภาษาอังกฤษ เนื่องจากการแสดงผล 3 มิติที่ชวนให้นึกถึงขวดจึงแทบไม่มีใครสังเกตเห็นข้อผิดพลาดนี้

หากเราแยกขวด Klein ออกเป็นสองส่วนตามระนาบสมมาตร เราจะสร้างแถบ Möbius สองแถบ ซึ่งแต่ละอันเป็นภาพสะท้อนของอีกขวดหนึ่ง (ราวกับว่ากำลังส่องกระจก) แล้ว, ขวดของไคลน์เป็นตัวอย่างของพื้นผิวที่ไม่ปรับทิศทางได้ เช่นเดียวกับแถบMöbius ไม่มีหน้าที่อื่นใดนอกจากการเป็นตัวแทน พื้นผิวที่ปรับทิศทางได้หรือไม่สามารถปรับทิศทางได้เป็นแนวคิดเชิงทอพอโลยี ทั้งสองเป็นตัวอย่างของพื้นผิวด้านเดียว เนื่องจากไม่สามารถปรับทิศทางได้ ความมหัศจรรย์ของมันอยู่ที่ความสามารถในการปกปิดมันได้อย่างสมบูรณ์อย่างต่อเนื่องโดยสมบูรณ์ ครอบคลุมทุกจุดที่สร้างมันขึ้นมา

ฉันหวังว่าด้วยข้อมูลนี้ คุณจะได้เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับขวด Klein และคุณลักษณะต่างๆ ของขวด