ఫ్రాక్టల్స్

ఫ్రాక్టల్ అనేది రేఖాగణిత వస్తువు, దీనిని భాగాలుగా విభజించవచ్చు, ప్రతి ఒక్కటి అసలు వస్తువుకు సమానంగా ఉంటుంది. ఫ్రాక్టల్స్ అనంతమైన వివరాలను కలిగి ఉంటాయి మరియు తరచుగా స్వీయ-సారూప్యం మరియు స్కేల్ చేయబడతాయి. అనేక సందర్భాల్లో, ఫ్రాక్టల్స్ అవి పునరావృత నమూనాలు, పునరావృత లేదా పునరావృత ప్రక్రియల ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడతాయి.

ఈ కథనంలో ఫ్రాక్టల్స్, వాటి లక్షణాలు మరియు ప్రాముఖ్యత గురించి మీరు తెలుసుకోవలసిన ప్రతిదాన్ని మేము మీకు చెప్పబోతున్నాము.

ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క లక్షణాలు

ఫ్రాక్టల్‌లను వర్ణించే ప్రధాన లక్షణాలు స్వీయ-సారూప్యత, అనంతమైన సంక్లిష్టత మరియు డైమెన్షియాలిటీ.

స్వీయ సారూప్యత

స్వీయ-సారూప్యత అంటే బొమ్మ లేదా రూపురేఖల భాగాన్ని చిన్న స్థాయిలో మొత్తం ప్రతిరూపంగా చూడవచ్చు.

అనంతమైన సంక్లిష్టత

గ్రాఫ్ నిర్మాణ ప్రక్రియ పునరావృతమయ్యే వాస్తవాన్ని ఇది సూచిస్తుంది. దీనర్థం ఒక ప్రక్రియను అమలు చేసినప్పుడు, గతంలో అమలు చేయబడిన విధానం దాని ప్రక్రియలో ఉపవిధానంగా గుర్తించబడుతుంది.

గణితశాస్త్రపరంగా నిర్వచించబడిన ఫ్రాక్టల్ యొక్క పునరుక్తి నిర్మాణం విషయంలో, అమలు చేయవలసిన ప్రోగ్రామ్ అనంతమైనది, దీని ఫలితంగా అనంతమైన సంక్లిష్ట నిర్మాణం ఏర్పడుతుంది.

కొలతలు

యూక్లిడియన్ జ్యామితి కాకుండా, ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క కొలతలు తప్పనిసరిగా పూర్ణాంక విలువలు కావు. ఈ గణిత శాఖలో, పాయింట్లకు సున్నా పరిమాణం ఉంటుంది, పంక్తులు ఒక కోణాన్ని కలిగి ఉంటాయి, ఉపరితలాలు రెండు కొలతలు కలిగి ఉంటాయి మరియు వాల్యూమ్‌లకు మూడు కొలతలు ఉంటాయి. ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్ విషయంలో, ఇది ఫ్రాక్షనల్ పరిమాణం, ఇది ఒక నిర్మాణం దానిని కలిగి ఉన్న స్థలాన్ని ఎంతవరకు ఆక్రమిస్తుందో సూచిస్తుంది.

ఫ్రాక్టల్స్ ఉదాహరణలు

కాంటర్ సెట్, కోచ్ స్నోఫ్లేక్ మరియు సియర్పిన్స్కి ట్రయాంగిల్ అధ్యయనం చేసిన మొదటి ఫ్రాక్టల్స్. ఫ్రాక్టల్‌లను పునరావృత ప్రక్రియల ద్వారా రేఖాగణితంగా లేదా యాదృచ్ఛికంగా పొందవచ్చు మరియు ప్రకృతిలో కనిపించే వివిధ రకాల ఆకృతుల లక్షణాలను తీసుకోవచ్చు.

ఫ్రాక్టల్స్ ప్రతిచోటా ఉన్నాయి. వాటి ప్రవర్తన లేదా నిర్మాణం కారణంగా సహజ ఫ్రాక్టల్‌లుగా పరిగణించబడే అనేక సహజ వస్తువులు ఉన్నాయి, అయితే ఇవి పరిమిత రకాలైన ఫ్రాక్టల్‌లు, పునరావృత పరస్పర చర్యల ద్వారా సృష్టించబడిన గణిత రకం ఫ్రాక్టల్‌ల నుండి వాటిని వేరు చేస్తాయి. వీటికి ఉదాహరణలు మేఘాలు మరియు చెట్లు.

ప్రధాన లక్షణాలు

"ఫ్రాక్టల్" అనే పదం లాటిన్ ఫ్రాక్టస్ నుండి వచ్చింది, దీని అర్థం "విచ్ఛిన్నం", "విరిగిన" లేదా కేవలం "విరిగిన" లేదా "విరిగిన", మరియు పాక్షిక కొలతలు కలిగిన వస్తువులకు బాగా సరిపోతుంది. ఈ పదాన్ని 1977లో బెనోయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ రూపొందించారు మరియు అతని పుస్తకం ఫ్రాక్టల్ జామెట్రీ ఆఫ్ నేచర్‌లో కనిపించారు. ఫ్రాక్టల్ వస్తువుల అధ్యయనాన్ని తరచుగా ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి అంటారు.

ఫ్రాక్టల్ అనేది ఏ స్కేల్‌లోనైనా స్వీయ-సారూప్యతను ఆస్వాదించగల గణిత సమితి, మరియు దాని కొలతలు పూర్ణాంకాలు కాదు, లేదా అవి ఉంటే, అవి సాధారణ పూర్ణాంకాలు కావు. ఇది స్వీయ-సారూప్యత అంటే, ఫ్రాక్టల్ వస్తువు పరిశీలకుడిపై ఆధారపడి ఉండదు, అంటే, మనం ఒక రకమైన ఫ్రాక్టల్ తీసుకుంటే, మనం డబుల్ జూమ్ చేసినప్పుడు, డ్రాయింగ్ మొదటిది అదే అని ధృవీకరించవచ్చు. మనం 1000 కారకం ద్వారా జూమ్ చేస్తే, మేము అదే లక్షణాలను ధృవీకరిస్తాము, కాబట్టి మనం n ను పెంచినట్లయితే, ప్లాట్లు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కాబట్టి భాగం మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.

కొలిచే పరికరం యొక్క స్కేల్ తగ్గుతున్నందున సేకరణ లేదా వస్తువు ఏకపక్షంగా పెద్దదిగా మారినప్పుడు ఫ్రాక్టల్ అని చెప్పబడుతుంది. వాటి నిర్మాణం లేదా ప్రవర్తన కారణంగా సహజంగా పరిగణించబడే అనేక సాధారణ వస్తువులు ఉన్నాయి.మనం వారిని గుర్తించకపోయినా. మేఘాలు, పర్వతాలు, తీరప్రాంతాలు, చెట్లు మరియు నదులు అన్ని సహజ ఫ్రాక్టల్స్, అయినప్పటికీ పరిమితమైనవి మరియు అందువల్ల ఆదర్శమైనవి కావు, గణిత ఫ్రాక్టల్స్ వలె కాకుండా, అవి అనంతాన్ని ఆనందిస్తాయి మరియు ఆదర్శంగా ఉంటాయి.

ఫ్రాక్టల్స్ మరియు సైన్స్

ఫ్రాక్టల్ ఆర్ట్ గణితానికి, ముఖ్యంగా జ్యామితికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే, దాని పేరు సూచించినట్లుగా, ఇది ఫ్రాక్టల్స్ భావనను ఉపయోగిస్తుంది. ఫ్రాక్టల్‌లు స్వీయ-సంబంధిత రేఖాగణిత నమూనా యొక్క స్థిరమైన పునరావృతంపై ఆధారపడి ఉంటాయి, అనగా, భాగం మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

సియర్పిన్స్కి త్రిభుజాన్ని నిర్మించేటప్పుడు, ఒక సమబాహు త్రిభుజం నుండి, దాని మధ్య బిందువును తీసుకొని, కొత్త సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తుంది మరియు మధ్యలో ఉన్నదాన్ని తొలగించండి. ఆపై మిగిలిన ప్రతి త్రిభుజంతో కూడా అదే చేయండి, మరియు అందువలన న, కాబట్టి ఇది ఫ్రాక్టల్ గా పరిగణించబడుతుంది. ఫ్రాక్టల్స్ అని పిలువబడే గణిత రూపాలను కనుగొన్న బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ 85 సంవత్సరాల వయస్సులో క్యాన్సర్‌తో మరణించారు. ఫ్రెంచ్ మరియు అమెరికన్ పౌరుడైన మాండెల్‌బ్రోట్ ప్రకృతి యొక్క అనంతమైన సంక్లిష్టతను అర్థం చేసుకోవడానికి గణిత పద్ధతిగా ఫ్రాక్టల్‌లను అభివృద్ధి చేశాడు.

సాధారణం నుండి ప్రత్యేకం వరకు వర్గీకరణను పరిష్కరించడానికి, మేము వాటిని రెండు విస్తృత వర్గాలుగా విభజించవచ్చు: నిర్ణయాత్మక ఫ్రాక్టల్స్ (అవి క్రమంగా బీజగణితం లేదా రేఖాగణితం కావచ్చు) మరియు నాన్-డిటర్మినిస్టిక్ ఫ్రాక్టల్స్ (స్టాకాస్టిక్ ఫ్రాక్టల్స్ అని కూడా పిలుస్తారు).

లీనియర్ ఫ్రాక్టల్స్ అంటే స్కేల్‌లు మారుతూ ఉంటాయి, అంటే అవి అన్ని స్కేల్స్‌లో ఒకేలా ఉంటాయి. నాన్ లీనియర్ ఫ్రాక్టల్స్, మరోవైపు, సంక్లిష్టమైన వక్రీకరణల ఫలితంగా లేదా పేరు సూచించినట్లుగా, అస్తవ్యస్తమైన గణితంలో ఒక పదాన్ని ఉపయోగించడం, నాన్ లీనియర్ వక్రీకరణలు.

నిత్య జీవితం

చాలా పూర్తిగా గణిత మరియు సహజ వస్తువులు నాన్ లీనియర్. గణితంలో, స్వీయ-సారూప్యత, కొన్నిసార్లు స్వీయ-సారూప్యత అని పిలుస్తారు, ఇది ఒక వస్తువు యొక్క లక్షణం (స్వీయ-సారూప్య వస్తువు అని పిలుస్తారు), దీనిలో మొత్తం సరిగ్గా లేదా దాదాపుగా ఒకే భాగాన్ని పోలి ఉంటుంది, ఉదాహరణకు మొత్తం ఒకే విధంగా ఉన్నప్పుడు దాని భాగాల ఆకారంలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ.

ఒక ఫ్రాక్టల్ ఒక చుట్టుకొలత ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది, అది అనంతంగా ఉంటుంది వరుస పునరావృతాలతో చిన్న మరియు చిన్న వివరాలను జోడించండి. అయితే, ఈ వక్రరేఖ ప్రారంభ త్రిభుజాన్ని చుట్టుముట్టే వృత్తం యొక్క ఏ సమయ పరిమితులను అతివ్యాప్తి చేయదు. మేఘాలు, పర్వతాలు, ప్రసరణ వ్యవస్థలు, తీరప్రాంతాలు లేదా స్నోఫ్లేక్స్ అన్నీ సహజమైన ఫ్రాక్టల్స్. ఈ ప్రాతినిధ్యం సుమారుగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే అనంతమైన వివరాలు వంటి ఆదర్శ వస్తువుల లక్షణాలు ప్రకృతిలో పరిమితంగా ఉంటాయి.

ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి అనేక సహజ దృగ్విషయాలు మరియు శాస్త్రీయ ప్రయోగాలను మోడల్ చేయడానికి మరియు వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తుంది మరియు కొన్ని సంవత్సరాలలో ఇది మారింది శాస్త్రవేత్తలు, వైద్యులు, కళాకారులు, సామాజిక శాస్త్రవేత్తలు, ఆర్థికవేత్తలు, వాతావరణ శాస్త్రవేత్తలు, సంగీతకారులు, కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్తలు ఉపయోగించే బహుళ విభాగ సాధనం, మొదలైనవి

ఈ సమాచారంతో మీరు ఫ్రాక్టల్స్ మరియు వాటి లక్షణాల గురించి మరింత తెలుసుకోవచ్చునని నేను ఆశిస్తున్నాను.