números perfeitos

A matemática existe desde o início. Se acreditarmos na descoberta do osso de Ishango (há mais de 20.000 anos), pode ter sido a primeira prova de conhecimento dos primeiros números primos e multiplicação, mas o tema permanece controverso. Embora a matemática permaneça um mistério para muitos de nós, ela é vista por alguns como uma ótima maneira de entender e analisar o mundo. Na matemática existem números perfeitosAlgo que muitas pessoas não sabem.

Neste artigo, vamos contar tudo o que você precisa saber sobre números perfeitos e suas características.

o que são números perfeitos

Os números perfeitos têm tudo a ver com encontrar primos de Mersenne. De fato, a Proposição 36 do Livro IX dos Elementos de Euclides diz que se o número de Mersenne 2n – 1 é primo, então 2n-1 (2n – 1) é um número perfeito.

René Descartes confirmou em uma carta a Mason que qualquer número par era Euclides, mas ele não provou sua teoria. Em vez disso, o matemático suíço Leonhard Euler Ele foi o primeiro a demonstrar a observação cartesiana. A combinação dos resultados de Euclides e Euler permite obter uma caracterização completa dos números perfeitos.

Os primeiros quatro números perfeitos são conhecidos desde os tempos antigos. Aparecem nas obras de Nico Marcos de Graça e Theon de Smyrna. O quinto número perfeito é mencionado no Código Latino de 1456. O sexto e sétimo números perfeitos foram descobertos por Cataldi no século XVI, e o oitavo por Euler em 1772.

Assim, no início da década de 1950, sabíamos 12 números perfeitos, mas graças ao GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), a busca acelerou com tecnologia cada vez mais sofisticada e o uso de computadores na década de 1990.

Para que servem

Se muitos matemáticos consideram os números primos como a base da aritmética, então os números perfeitos não têm utilidade particular, uma vez que eles não são usados ​​para resolver equações, fatorar ou entrar no reino da criptografia.

Nos tempos antigos, eles eram considerados superiores, e alguém viu neles um papel místico: “O próprio seis é um número perfeito, não porque Deus criou tudo em seis dias, mas porque Deus criou tudo em seis dias porque o número é perfeito” – Santo Agostinho na Cidade de Deus (420 dC)

Eles são um dos mistérios da matemática, e a busca por novos números perfeitos continua a fascinar muitos matemáticos.

Há muita suposição sobre números perfeitos. Uma conjectura é uma regra que nunca foi provada. Aqui estão três:

• Os números perfeitos de Euclides são todos números pares porque um dos fatores é uma potência de 2. Mas não há evidência para provar que não existem números perfeitos ímpares;
• Todos os números perfeitos conhecidos terminam em 6 ou 28, mas nem sempre é assim;
• Nem foi provado que existem de fato infinitos números perfeitos.

quais são os números perfeitos

Números perfeitos são raros. Embora todos os matemáticos concordem que há um número infinito deles (nunca provados), hoje conhecemos apenas 50 e nem podemos ter certeza de que não existe um número médio perfeito não descoberto desde 47.

O último número perfeito foi descoberto em janeiro de 2018. A descoberta de um novo primo muito grande significa a descoberta de um novo número perfeito, que é a descoberta do número 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Existem apenas três números perfeitos menores que 1000: 6, 28 e 496. Aparentemente, mesmo os números perfeitos terminam em 6 ou 8, embora isso nunca tenha sido provado, nem sempre é o caso.

Os números perfeitos pares na fórmula 2n-1 (2n – 1) são números triangulares (ou mesmo hexagonais). Por outro lado, todos os números pares, exceto o primeiro número perfeitamente par, são a soma de 2(n-1)/2 cubos dos primeiros números ímpares. Por exemplo:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

Os primeiros oito números perfeitos são:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843 008 139 952 128.

Um pouco de história

Santo Agostinho, também conhecido como Agostinho de Hipona (354-430), fEle era um filósofo romano, escritor, matemático e sacerdote. Se você estudou o assunto de filosofia, o nome lhe será familiar, pois ele é um dos filósofos que costuma estudar o assunto. Como muitos outros intelectuais de seu tempo, Santo Agostinho foi um dos que desenvolveu e aprofundou conhecimentos em campos que vão da filosofia à matemática, com muito mais para ver do que podemos imaginar hoje.

Bem, Agostinho de Hipona disse que os números perfeitos têm uma razão de existir. Em sua obra A Cidade de Deus, ele explicou que o 6 é perfeito porque Deus criou o mundo em seis dias. O próximo número, 28, corresponde ao número de dias que a Lua leva para dar uma volta em torno da Terra uma vez. Esta afirmação não é sem controvérsia, coincidência ou não?

Nenhuma explicação é dada para os próximos dois números. Eles são 496 e 8128. Os primeiros quatro números foram descobertos já no século I d.C. por Nicômaco de Gerasa, um filósofo e matemático que viveu na antiga cidade de Decápolis, hoje Jordânia, que pertencia ao Império Romano.

Para encontrar o quinto número perfeito tivemos que dar um grande salto na história até chegarmos ao século XV, já que o quinto número perfeito 33 550 336 apareceu em manuscritos deste século. O sexto e o sétimo, 8.589.869.056 e 137.438.691.328, foram descobertos um século depois, em 1588, pelo matemático italiano Pietro Cataldi.

Como os números perfeitos, apenas um número finito de números de Mersenne é conhecido. Os números têm o nome de Marin Mason, o homem que expôs uma série de hipóteses sobre eles. Mason foi um filósofo, matemático e padre francês (1588-1648).

Foi Euler quem descobriu esses números especiais, graças à fundação lançada por Mason. Leonhard Paul Euler (1707-1783) foi um matemático e físico suíço. Claro, o nome dele já será familiar para você, porque encontrar o oitavo número perfeito não foi sua única conquista. Também recebeu o nome do número de Euler (e), que é usado em muitas fórmulas físicas e computacionais.

Espero que com essas informações você possa saber mais sobre esses números e suas características.