W topologii gałąź matematyki, butelka kleina jest przykładem powierzchni bez orientacji. Jest to dwuwymiarowa rozmaitość, dla której nie można konsekwentnie zdefiniować systemu, aby określić wektory normalne. Nieformalnie jest to jednostronna powierzchnia, po której można podążać z powrotem do źródła, gdy podróżnik się zawraca.
W tym artykule opowiemy Ci wszystko, co musisz wiedzieć o butelce Klein, jej właściwościach i ciekawostkach.
Główne cechy
Inne powiązane obiekty, których nie można orientować, obejmują paski Möbiusa i prawdziwe płaszczyzny projekcji. Paski Mobiusa to ograniczone powierzchnie, podczas gdy butelki Kleina nie mają granic. Dla porównania kula jest powierzchnią, którą można orientować w nieskończoność. Butelka Kleina została po raz pierwszy opisana w 1882 roku przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina.
Kolekcja ręcznie dmuchanych szklanych butelek Kleina jest wystawiona w Muzeum Nauki w Londynie, pokazując wiele wariacji na temat tego topologicznego tematu. Butelki pochodzą z 1995 roku i zostały wykonane przez Alana Bennetta dla muzeum.
Sama butelka Kleina nie jest przekreślona. Jednakże, istnieje sposób na wizualizację zawartej butelki Kleina w czterech wymiarach. Samoprzecięcia można usunąć, dodając czwarty wymiar w przestrzeni trójwymiarowej. Delikatnie wypchnij odcinek rury zawierający przecięcie poza oryginalną przestrzeń 3D wzdłuż czwartego wymiaru. Przydatną analogią jest rozważenie krzywej przecinającej płaszczyznę. Samoprzecięcia można usunąć, podnosząc gwinty z płaszczyzny.
Aby wyjaśnić, powiedzmy, że traktujemy czas jako czwarty wymiar. Zastanów się, jak zbudować wykres w przestrzeni xyzt. Załączony rysunek („Ewolucja w czasie…”) pokazuje użyteczną ewolucję tego rysunku. W t = 0 ściana wyrasta gdzieś w pobliżu „skrzyżowania”. Gdy postać urosła, pierwsza część ściany zaczęła się cofać, znikając jak kot z Cheshire, ale zostawiając za sobą szeroki uśmiech. Kiedy front wzrostu dociera do miejsca, w którym znajduje się pęd, nie ma nic do przejścia, a wzrost jest kompletny bez przebijania istniejącej struktury.
Właściwości butelki Kleina
Kolba Kleina to powierzchnia bez orientacji, która jest często przedstawiana jako kolba z długą szyjką z zakrzywioną szyjką, która przechodzi od wewnątrz, aby otworzyć jako podstawa. Unikalny kształt butelki Kleina sprawia, że ma tylko jedną powierzchnię: wnętrze jest równe zewnętrze. Butelka Kleina nie może w rzeczywistości istnieć w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, ale jej przedstawienie może dać nam kilka interesujących spostrzeżeń. To nie jest prawdziwa butelka klein, ale pomaga to sobie wyobrazić, co wyobrażał sobie niemiecki matematyk Felix Klein, kiedy wpadł na pomysł na butelkę Kleina.
Jeśli symbol jest dołączony do orientowalnej powierzchni, takiej jak zewnętrzna część kuli, zachowa tę samą orientację bez względu na to, jak go przesuniesz. Specjalny kształt butelki Kleina umożliwia przesuwanie symbolu w różnych kierunkach: może pojawić się jako lustrzane odbicie samego siebie na tej samej powierzchni. Ta właściwość butelki Kleina uniemożliwia jej orientację.
Butelka Kleina nosi imię niemieckiego matematyka Felixa Kleina. Praca Felixa Kleina w matematyce sprawiła, że zaznajomił się z paskami Möbiusa. Pasek Möbiusa to arkusz papieru, który jest obrócony o pół obrotu i połączony od końca do końca. Ten skręt zamienia zwykły arkusz papieru w powierzchnię, której nie można orientować. Felix Klein doszedł do wniosku, że gdyby łączył dwa paski Möbiusa wzdłuż ich krawędzi, stworzyłby nowy rodzaj powierzchni o tych samych dziwnych właściwościach: powierzchnię Kleina lub butelkę Kleina.
Butelka Kleina jest opisana jako powierzchnia bez orientacji, ponieważ jeśli symbol jest przyczepiony do powierzchni, może się przesuwać w taki sposób, że może powrócić do tej samej pozycji, co lustrzane odbicie.
Czy butelkę Kleina można zrobić w prawdziwym życiu?
Niestety dla tych z nas, którzy chcą zobaczyć prawdziwe butelki Kleina, nie można ich zbudować w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, w której żyjemy. Połącz krawędzie dwóch pasków Möbiusa, aby zbudować butelkę Kleina tworzy skrzyżowania, których nie ma w modelach teoretycznych. Rzeczywisty model butelki Kleina musiał przejść sam, gdy szyjka odpadła z boku. To daje nam coś, co nie jest tak naprawdę funkcjonalną butelką Kleina, ale nadal jest zabawne do zbadania.
Ponieważ kolby Kleina mają wiele dziwnych właściwości z paskami Möbiusa, ci z nas, którzy nie mają głębokiego zrozumienia matematyki, aby naprawdę zrozumieć zawiłości kolb Kleina, mogą wypróbować paski Moebiusa Felixa Kleina. Fascynujące znalezisko .
Powierzchnia Kleina
Clifford Stoll jest autorem projektu tej gigantycznej butelki Kleina, która ma 106 cm wysokości, 62,2 cm szerokości i 163,5 cm obwodu. Został zbudowany przez Kildee Scientific Glass w latach 2001-2003.
Pierwotna nazwa obiektu to nie Klein Flask (niem. Kleinsche Flasche), ale Klein Surface (niem. Kleinsche Fläche). Tłumaczenie pierwszego przedmiotu odniesienia z niemieckiego na angielski myliło słowa. Ze względu na wygląd renderingu 3D przypominającego butelkę, mało kto zauważył błąd.
Jeśli podzielimy butelkę Kleina na dwie części wzdłuż jej płaszczyzny symetrii, stworzymy dwa paski Möbiusa, z których każdy jest lustrzanym odbiciem drugiego (jakby patrzyło się w lustro). Następnie, butelka Kleina jest przykładem nieorientowalnej powierzchni, podobnie jak pasek Möbiusa. Nie ma innej funkcji niż jej reprezentowanie. Powierzchnie orientowalne lub nieorientowalne to pojęcia topologiczne. Oba są przykładami powierzchni jednostronnych, ponieważ nie można ich orientować. Jej magia polega na tym, że jest w stanie całkowicie ją pokryć w całkowicie ciągły sposób, obejmując wszystkie punkty, które ją tworzą.
Mam nadzieję, że dzięki tym informacjom można dowiedzieć się więcej o butelce Kleina i jej właściwościach.