Números perfectos

numeros perfectos en matematicas

Las matemáticas han existido desde el principio. Si creemos en el descubrimiento del hueso de Ishango (hace más de 20.000 años), puede haber sido la primera prueba del conocimiento de los primeros números primos y la multiplicación, pero el tema sigue siendo controvertido. Si bien las matemáticas siguen siendo un misterio para muchos de nosotros, algunos las ven como una excelente manera de comprender y analizar el mundo. En las matemáticas existen los números perfectos, algo que desconocen muchas personas.

En este artículo vamos a contarte todo lo que necesita saber sobre los números perfectos y sus características.

Qué son los números perfectos

seis un numero

Los números perfectos tienen que ver con encontrar números primos de Mersenne. De hecho, la Proposición 36 del Libro IX de los Elementos de Euclides dice que si el número de Mersenne 2n – 1 es primo, entonces 2n-1 (2n – 1) es un número perfecto.

René Descartes confirmó en una carta a Mason que cualquier número par era Euclides, pero no probó su teoría. En cambio, el matemático suizo Leonhard Euler fue el primero en demostrar la observación cartesiana. La combinación de los resultados de Euclides y Euler permite obtener una caracterización completa de los números perfectos.

Los primeros cuatro números perfectos se conocen desde la antigüedad. Aparecen en las obras de Nico Marcos de Graça y Theon de Smyrna. El quinto número perfecto se menciona en el Código latino de 1456. Los números perfectos sexto y séptimo fueron descubiertos por Cataldi en el siglo XVI, y el octavo por Euler en 1772.

Entonces, a principios de la década de 1950, conocíamos 12 números perfectos, pero luego, gracias a GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), la búsqueda se aceleró con una tecnología cada vez más sofisticada y el uso de computadoras en la década de 1990.

Para qué sirven

numeros perfectos

Si muchos matemáticos consideran que los números primos son la base de la aritmética, entonces los números perfectos no tienen un uso particular, ya que no se usan para resolver ecuaciones, factorizar o entrar en el ámbito de la criptografía.

En la antigüedad, se los consideraba superiores, y alguien vio en ello un papel místico: «El seis en sí mismo es un número perfecto, no porque Dios creó todo en seis días, sino porque Dios creó todo en seis días porque el número es perfecto» – San Agustín en La Ciudad de Dios (420 dC)

Son uno de los misterios de las matemáticas, y la búsqueda de nuevos números perfectos sigue fascinando a muchos matemáticos.

Hay muchas conjeturas sobre los números perfectos. Una conjetura es una regla que nunca ha sido probada. Aquí hay tres:

  • Los números perfectos de Euclides son todos números pares porque uno de los factores es una potencia de 2. Pero no hay evidencia para probar que no hay números perfectos impares;
  • Todos los números perfectos conocidos terminan en 6 o 28, pero no siempre es así;
  • Tampoco se ha probado que efectivamente existan infinitos números perfectos.

Cuáles son los números perfectos

lista de numeros

Los números perfectos son raros. Si bien todos los matemáticos están de acuerdo en que hay una cantidad infinita de ellos (nunca probados), hoy solo conocemos 50 y ni siquiera podemos estar seguros de que no haya un número medio perfecto sin descubrir desde 47.

El último número perfecto se descubrió en enero de 2018. El descubrimiento de un nuevo primo muy grande significa el descubrimiento de un nuevo número perfecto, que es el descubrimiento del número 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Solo hay tres números perfectos menores que 1000: 6, 28 y 496. Aparentemente, incluso los números perfectos terminan en 6 u 8, aunque esto nunca se ha demostrado, no siempre es así.

Los números perfectos pares de la fórmula 2n-1 (2n – 1) son números triangulares (o incluso hexagonales). Por otro lado, todos los números pares excepto el primer número perfectamente par son la suma de 2(n-1)/2 cubos de los primeros números impares. Por ejemplo:

  • 28 = 13+ 33,
  • 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
  • 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.

Los primeros ocho números perfectos son:

  • 6
  • 28
  • 496
  • 8128
  • 336
  • 869.056
  • 691.328
  • 2 305 843 008 139 952 128.

Algo de historia

San Agustín, también conocido como Agustín de Hipona (354-430), fue un filósofo, escritor, matemático y sacerdote romano. Si has estudiado la materia de filosofía, el nombre te resultará familiar, ya que es uno de los filósofos que suele estudiar la materia. Como muchos otros intelectuales de su época, San Agustín fue uno de los que desarrollaron y profundizaron conocimientos en campos que van desde la filosofía a las matemáticas, con mucho más que ver de lo que hoy podemos imaginar.

Bueno, Agustín de Hipona dijo que los números perfectos tienen una razón de existir. En su obra La Ciudad de Dios, explicó que el 6 es perfecto porque Dios creó el mundo en seis días. El siguiente número, 28, corresponde al número de días que le toma a la Luna dar una vuelta alrededor de la Tierra. Esta afirmación no está exenta de controversia, ¿coincidencia o no?

No se da ninguna explicación para los siguientes dos números. Son 496 y 8128. Los primeros cuatro números fueron descubiertos ya en el siglo I d.C. por Nicómaco de Gerasa, un filósofo y matemático que vivía en la antigua ciudad de Decápolis, ahora Jordania, que pertenecía al Imperio Romano.

Para encontrar el quinto número perfecto tuvimos que dar un gran salto en la historia hasta llegar al siglo XV, ya que el quinto número perfecto 33 550 336 aparecía en manuscritos de este siglo. El sexto y el séptimo, 8.589.869.056 y 137.438.691.328, fueron descubiertos un siglo después, en 1588, por el matemático italiano Pietro Cataldi.

Al igual que los números perfectos, solo se conoce un número finito de números de Mersenne. Los números deben su nombre a Marin Mason, el hombre que expuso una serie de hipótesis sobre ellos. Mason fue un filósofo, matemático y sacerdote francés (1588-1648).

Fue Euler quien descubrió estos números especiales, gracias a la base establecida por Mason. Leonhard Paul Euler (1707-1783) fue un matemático y físico suizo. Por supuesto, su nombre ya te resultará familiar, porque encontrar el octavo número perfecto no fue su único logro. También recibió su nombre del número de Euler (e), que se usa en muchas fórmulas físicas y computacionales.

Espero que con esta información puedan conocer más sobre estos números y sus características.


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