क्लेन बाटली

टोपोलॉजीमध्ये, गणिताची एक शाखा, क्लेन बाटली दिशाहीन नसलेल्या पृष्ठभागाचे उदाहरण आहे. हे एक द्विमितीय मॅनिफोल्ड आहे ज्यासाठी सामान्य वेक्टर निर्धारित करण्यासाठी सिस्टमची सातत्यपूर्ण व्याख्या केली जाऊ शकत नाही. अनौपचारिकपणे, हा एकल-बाजूचा पृष्ठभाग आहे, ज्याच्या ओलांडून गेल्यास, प्रवासी मागे वळून परत मूळ स्थानावर जाऊ शकतो.

या लेखात आम्‍ही तुम्‍हाला क्‍लेन बाटली, तिच्‍या वैशिष्‍ट्ये आणि कुतूहलाबद्दल जाणून घेण्‍यासाठी आवश्‍यक असलेली सर्व काही सांगणार आहोत.

मुख्य वैशिष्ट्ये

इतर संबंधित नॉन-ओरिएंटेबल ऑब्जेक्ट्समध्ये मोबियस स्ट्रिप्स आणि ट्रू प्रोजेक्शन प्लेन यांचा समावेश होतो. मोबियस स्ट्रिप्स मर्यादित पृष्ठभाग आहेत, तर क्लेन बाटल्यांना मर्यादा नाहीत. तुलनेने, एक गोल एक असीम ओरिएंटेबल पृष्ठभाग आहे. क्लेन बाटलीचे वर्णन प्रथम 1882 मध्ये जर्मन गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन यांनी केले होते.

लंडनमधील सायन्स म्युझियममध्ये हाताने उडवलेल्या क्लेन काचेच्या बाटल्यांचा संग्रह प्रदर्शित केला आहे, जो या टोपोलॉजिकल थीमवर अनेक भिन्नता दर्शवितो. बाटल्या 1995 पासून आहेत आणि अॅलन बेनेटने संग्रहालयासाठी बनवल्या होत्या.

क्लेन बाटली स्वतःच ओलांडलेली नाही. तथापि, समाविष्ट असलेल्या क्लेन बाटलीला चार परिमाणांमध्ये दृश्यमान करण्याचा एक मार्ग आहे. त्रिमितीय जागेत चौथे परिमाण जोडून स्वयं-प्रतिच्छेदन काढले जाऊ शकतात. चौथ्या मितीसह मूळ 3D जागेच्या बाहेर छेदनबिंदू असलेला ट्यूब विभाग हळूवारपणे ढकलून द्या. विमानाला छेदणारा वक्र विचारात घेणे हे उपयुक्त सादृश्य आहे. विमानातून थ्रेड्स उचलून सेल्फ-इंटरसेक्शन काढले जाऊ शकतात.

स्पष्ट करण्यासाठी, आपण चौथे परिमाण म्हणून वेळ घेतो असे समजू. xyzt जागेत आलेख कसा तयार करायचा ते विचारात घ्या. संलग्न आकृती (“कालांतराने उत्क्रांती…”) या आकृतीची उपयुक्त उत्क्रांती दर्शवते. t = 0 वर, भिंत "इंटरसेक्शन" जवळ कुठेतरी फुटते. आकृती मोठी झाल्यानंतर, भिंतीचा पहिला भाग चेशायर मांजरीसारखा अदृश्य होऊ लागला, पण त्याचे रुंद स्मित सोडून. जेव्हा वाढीचा पुढचा भाग अंकुर असलेल्या ठिकाणी पोहोचतो तेव्हा ओलांडण्यासारखे काहीही नसते आणि विद्यमान संरचनेला छेद न देता वाढ पूर्ण होते.

क्लेन बाटली गुणधर्म

क्लेन फ्लास्क ही एक नॉन-ओरिएंटेबल पृष्ठभाग आहे जी अनेकदा वक्र मानेसह लांब-मानेचा फ्लास्क म्हणून दर्शविली जाते जी बेस म्हणून उघडण्यासाठी आतून जाते. क्लेन बाटलीच्या अद्वितीय आकाराचा अर्थ असा आहे की त्याची फक्त एक पृष्ठभाग आहे: आतील बाजू बाहेरील समान आहे. क्लेनची बाटली त्रिमितीय युक्लिडियन जागेत अस्तित्त्वात असू शकत नाही, परंतु काचेने उडवणारे प्रतिनिधित्व आपल्याला काही मनोरंजक अंतर्दृष्टी देऊ शकते. ही खरी क्लीन बाटली नाही, परंतु जर्मन गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन यांनी क्लेन बाटलीची कल्पना सुचली तेव्हा त्यांनी काय कल्पना केली होती हे दृश्यमान करण्यात मदत होते.

चिन्ह गोलाच्या बाहेरील भागासारख्या ओरिएंटेबल पृष्ठभागाशी जोडलेले असल्यास, तुम्ही ते कसेही हलवले तरीही ते समान अभिमुखता राखेल. क्लेन बाटलीचा विशेष आकार आपल्याला चिन्ह वेगवेगळ्या दिशेने सरकवण्याची परवानगी देतो: ती त्याच पृष्ठभागावर स्वतःची आरशाची प्रतिमा म्हणून दिसू शकते. क्लेन बाटलीच्या या गुणधर्मामुळे त्यास दिशा देणे अशक्य होते.

क्लेन बाटलीला जर्मन गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन यांचे नाव देण्यात आले आहे. फेलिक्स क्लेनच्या गणितातील कामामुळे त्याला मोबियस स्ट्रिप्सची खूप ओळख झाली. मोबियस पट्टी ही कागदाची एक शीट असते जी अर्ध्या वळणावर फिरवली जाते आणि टोकापासून टोकाशी जोडलेली असते. हे वळण कागदाच्या सामान्य शीटला दिशा नसलेल्या पृष्ठभागामध्ये बदलते. फेलिक्स क्लेनने तर्क केला की जर त्याने त्यांच्या काठावर दोन मोबियस पट्ट्या जोडल्या तर तो त्याच विचित्र गुणधर्मांसह एक नवीन प्रकारचा पृष्ठभाग तयार करेल: क्लेन पृष्ठभाग किंवा क्लेन बाटली.

क्लेन बाटलीचे वर्णन नॉन-ओरिएंटेबल पृष्ठभाग म्हणून केले जाते कारण पृष्ठभागावर चिन्ह जोडलेले असल्यास, ती अशा प्रकारे सरकते की ती मिरर इमेज सारख्या स्थितीत परत येऊ शकते.

खऱ्या आयुष्यात क्लेनची बाटली बनवता येते का?

दुर्दैवाने आपल्यापैकी ज्यांना खऱ्या क्लेन बाटल्या पाहायच्या आहेत, त्या आपण राहत असलेल्या त्रिमितीय युक्लिडियन जागेत बांधल्या जाऊ शकत नाहीत. क्लेन फ्लास्क तयार करण्यासाठी दोन मोबियस पट्ट्यांच्या कडा कनेक्ट करा ते छेदनबिंदू तयार करते जे सैद्धांतिक मॉडेलमध्ये अस्तित्वात नाहीत. जेव्हा मान बाजूला आली तेव्हा क्लेन बाटलीच्या वास्तविक मॉडेलला स्वतःहून जावे लागले. हे आम्हाला असे काहीतरी देते जे खरोखर कार्यात्मक क्लेन बाटली नाही, परंतु तरीही परीक्षण करणे मजेदार आहे.

क्लेन फ्लास्क मोबियस स्ट्रिप्ससह अनेक विचित्र गुणधर्म सामायिक करत असल्याने, आपल्यापैकी ज्यांना गणिताचे सखोल ज्ञान नाही ते क्लेन फ्लास्कची गुंतागुंत खरोखर समजून घेण्यासाठी फेलिक्स क्लेनच्या मोबियस स्ट्रिप्सचा शोध घेऊ शकतात.

क्लेन पृष्ठभाग

106 सेमी उंच, 62,2 सेमी रुंद आणि 163,5 सेमी घेर असलेल्या या महाकाय क्लेन बाटलीच्या डिझाइनमागे क्लिफर्ड स्टॉल हा माणूस आहे. 2001 ते 2003 दरम्यान किल्डी सायंटिफिक ग्लासने ते बांधले होते.

ऑब्जेक्टचे मूळ नाव क्लेन फ्लास्क (जर्मन क्लेनशे फ्लॅचे) नव्हते, तर क्लेन सरफेस (जर्मन क्लेनशे फ्लॅचे) होते. जर्मन ते इंग्रजीतील संदर्भाच्या पहिल्या ऑब्जेक्टचे भाषांतर गोंधळलेले शब्द. बाटलीची आठवण करून देणारे 3D रेंडरिंग दिसल्यामुळे, क्वचितच कोणाच्या लक्षात आले की बग.

जर आपण क्लेनची बाटली त्याच्या सममितीच्या समतलतेने दोन भागात विभागली तर, आम्ही दोन मोबियस पट्ट्या तयार करतो, ज्यापैकी प्रत्येक दुसर्‍याची आरशाची प्रतिमा आहे (जसे की एखादी व्यक्ती आरशात पाहत आहे). मग, क्लेन बाटली हे दिशाहीन नसलेल्या पृष्ठभागाचे उदाहरण आहे, Möbius पट्टी आहे. त्याचे प्रतिनिधित्व करण्याशिवाय दुसरे कोणतेही कार्य नाही. ओरिएंटेबल किंवा नॉन-ओरिएंटेबल पृष्ठभाग या टोपोलॉजिकल संकल्पना आहेत. दोन्ही एकल-बाजूच्या पृष्ठभागाची उदाहरणे आहेत, कारण ते दिशानिर्देशक नाहीत. त्याची जादू ती तयार करणारे सर्व बिंदू कव्हर करून संपूर्णपणे सतत संपूर्णपणे कव्हर करण्यात सक्षम आहे.

मला आशा आहे की या माहितीसह आपण क्लेन बाटली आणि त्याच्या वैशिष्ट्यांबद्दल अधिक जाणून घेऊ शकता.