ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ಇದೆ. ಇಶಾಂಗೊ ಮೂಳೆಯ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು (20.000 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ) ನಂಬಿದರೆ, ಇದು ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಜ್ಞಾನದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಿಷಯವು ವಿವಾದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಗಣಿತವು ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅನೇಕರಿಗೆ ನಿಗೂಢವಾಗಿ ಉಳಿದಿದ್ದರೂ, ಕೆಲವರು ಜಗತ್ತನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇವೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಎಷ್ಟೋ ಜನರಿಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದ ವಿಷಯ.

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾವು ನಿಮಗೆ ಹೇಳಲಿದ್ದೇವೆ.

ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು

ಆರು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ

ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳ ಪುಸ್ತಕ IX ನ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ 36 ಹೇಳುವಂತೆ ಮರ್ಸೆನ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2n – 1 ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, 2n-1 (2n – 1) ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಎಂದು ಮೇಸನ್‌ಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ದೃಢಪಡಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಅವರು ತಮ್ಮ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಸ್ವಿಸ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಅವರು ಮೊದಲಿಗರು. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ತಿಳಿದಿವೆ. ಅವರು ನಿಕೋ ಮಾರ್ಕೋಸ್ ಡಿ ಗ್ರಾಕಾ ಮತ್ತು ಥಿಯೋನ್ ಡಿ ಸ್ಮಿರ್ನಾ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಐದನೇ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1456 ರ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಕೋಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆರನೇ ಮತ್ತು ಏಳನೇ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು XNUMX ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಟಾಲ್ಡಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಮತ್ತು 1772 ರಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ಅವರಿಂದ ಎಂಟನೆಯದು.

ಆದ್ದರಿಂದ 1950 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಪೂರ್ಣ 12 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ನಂತರ GIMPS (ಗ್ರೇಟ್ ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಮರ್ಸೆನ್ನೆ ಪ್ರೈಮ್ ಸರ್ಚ್) ಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, 1990 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಹುಡುಕಾಟವು ವೇಗವಾಯಿತು.

ಅವರು ಏನು

ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಅನೇಕ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಆಧಾರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪಯೋಗವಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂಶ ಅಥವಾ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಲು.

ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಶ್ರೇಷ್ಠರೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟರು, ಮತ್ತು ಯಾರಾದರೂ ಅದರಲ್ಲಿ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿದರು: "ಆರು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ದೇವರು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆರು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ಕಾರಣ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ದೇವರು ಆರು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ಕಾರಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ" - ದಿ ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಗಾಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇಂಟ್ ಆಗಸ್ಟೀನ್ (420 AD)

ಅವು ಗಣಿತದ ರಹಸ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೊಸ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹುಡುಕಾಟವು ಅನೇಕ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸುತ್ತಲೇ ಇದೆ.

ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಊಹೆಗಳಿವೆ. ಊಹೆಯು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಬೀತಾಗದ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮೂರು:

  • ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಅಂಶವು 2 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಬೆಸ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲ;
  • ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 6 ಅಥವಾ 28 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ;
  • ಅಥವಾ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ.

ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ

ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಪರೂಪ. ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆ (ಎಂದಿಗೂ ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ), ಇಂದು ನಮಗೆ 50 ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು 47 ರಿಂದ ಅನ್ವೇಷಿಸದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಕೊನೆಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಜನವರಿ 2018 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಹೊಸ ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆವಿಷ್ಕಾರ ಎಂದರೆ ಹೊಸ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆವಿಷ್ಕಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆವಿಷ್ಕಾರವಾಗಿದೆ.

1000 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಕೇವಲ ಮೂರು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ: 6, 28 ಮತ್ತು 496. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಹ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 6 ಅಥವಾ 8 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ.

2n-1 (2n - 1) ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಹ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತ್ರಿಕೋನ (ಅಥವಾ ಷಡ್ಭುಜೀಯ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮೊದಲ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೊದಲ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ 2(n-1)/2 ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

  • 28 = 13+ 33,
  • 496 = 133 +3 5 +3 + 73,
  • 8128 = 133 +3 5 +3 7 +3 9 +3 11 +3 13 +3 15 +3.

ಮೊದಲ ಎಂಟು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:

  • 6
  • 28
  • 496
  • 8128
  • 336
  • 869.056
  • 691.328
  • 2 305 843 008 139 952 128.

ಕೆಲವು ಇತಿಹಾಸ

ಸೇಂಟ್ ಅಗಸ್ಟೀನ್, ಹಿಪ್ಪೋ (354-430), ಎಫ್ಅವರು ರೋಮನ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ, ಬರಹಗಾರ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಪುರೋಹಿತರಾಗಿದ್ದರು. ನೀವು ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದರೆ, ಹೆಸರು ನಿಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು. ಅವರ ಕಾಲದ ಇತರ ಅನೇಕ ಬುದ್ಧಿಜೀವಿಗಳಂತೆ, ಸಂತ ಅಗಸ್ಟೀನ್ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದವರೆಗಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಮತ್ತು ಆಳಗೊಳಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು, ಇಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ನೋಡಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಸರಿ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಒಂದು ಕಾರಣವಿದೆ ಎಂದು ಹಿಪ್ಪೋನ ಆಗಸ್ಟೀನ್ ಹೇಳಿದರು. ಅವರ ಕೃತಿ ದಿ ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಗಾಡ್‌ನಲ್ಲಿ, ದೇವರು ಆರು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಜಗತ್ತನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ಕಾರಣ 6 ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದರು. ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ, 28, ಚಂದ್ರನು ಭೂಮಿಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಸುತ್ತಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ದಿನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ವಿವಾದ, ಕಾಕತಾಳೀಯ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ?

ಮುಂದಿನ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ಅವು 496 ಮತ್ತು 8128. ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಿ.ಶ. XNUMXನೇ ಶತಮಾನದಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ರೋಮನ್ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಈಗಿನ ಜೋರ್ಡಾನ್‌ನ ಪ್ರಾಚೀನ ನಗರವಾದ ಡೆಕಾಪೊಲಿಸ್‌ನಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದ ದಾರ್ಶನಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನಾದ ಗೆರಾಸಾದ ನಿಕೋಮಾಕಸ್‌ನಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು.

ಐದನೇ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಹದಿನೈದನೇ ಶತಮಾನವನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಜಿಗಿತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿತ್ತು, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಶತಮಾನದ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಗಳಲ್ಲಿ ಐದನೇ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ 33 550 336 ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಆರನೇ ಮತ್ತು ಏಳನೇ, 8.589.869.056 ಮತ್ತು 137.438.691.328, ಒಂದು ಶತಮಾನದ ನಂತರ, 1588 ರಲ್ಲಿ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪಿಯೆಟ್ರೊ ಕ್ಯಾಟಾಲ್ಡಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು.

ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಮರ್ಸೆನ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮರಿನ್ ಮೇಸನ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ, ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದ ವ್ಯಕ್ತಿ. ಮೇಸನ್ ಒಬ್ಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಪಾದ್ರಿ (1588-1648).

ಈ ವಿಶೇಷ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದವರು ಯೂಲರ್, ಮೇಸನ್ ಹಾಕಿದ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಪಾಲ್ ಯೂಲರ್ (1707-1783) ಸ್ವಿಸ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅವನ ಹೆಸರು ಈಗಾಗಲೇ ನಿಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಎಂಟನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವನ ಏಕೈಕ ಸಾಧನೆಯಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಇದು ಯೂಲರ್‌ನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತನ್ನ ಹೆಸರನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ (ಇ), ಇದು ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಈ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.


ನಿಮ್ಮ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಬಿಡಿ

ನಿಮ್ಮ ಈಮೇಲ್ ವಿಳಾಸ ಪ್ರಕಟವಾದ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಜಾಗ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ *

*

*

  1. ಡೇಟಾಗೆ ಜವಾಬ್ದಾರಿ: ಮಿಗುಯೆಲ್ ಏಂಜೆಲ್ ಗಟಾನ್
  2. ಡೇಟಾದ ಉದ್ದೇಶ: ನಿಯಂತ್ರಣ SPAM, ಕಾಮೆಂಟ್ ನಿರ್ವಹಣೆ.
  3. ಕಾನೂನುಬದ್ಧತೆ: ನಿಮ್ಮ ಒಪ್ಪಿಗೆ
  4. ಡೇಟಾದ ಸಂವಹನ: ಕಾನೂನುಬದ್ಧ ಬಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಹನ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
  5. ಡೇಟಾ ಸಂಗ್ರಹಣೆ: ಆಕ್ಸೆಂಟಸ್ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್‌ಗಳು (ಇಯು) ಹೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಿದ ಡೇಟಾಬೇಸ್
  6. ಹಕ್ಕುಗಳು: ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಳಿಸಬಹುದು.