კლეინის ბოთლი

კლეინის ბოთლი

ტოპოლოგიაში, მათემატიკის ფილიალი, კლეინის ბოთლი არის არაორიენტირებადი ზედაპირის მაგალითი. ეს არის ორგანზომილებიანი მრავალფეროვნება, რომლისთვისაც სისტემა არ შეიძლება თანმიმდევრულად განისაზღვროს ნორმალური ვექტორების დასადგენად. არაოფიციალურად, ეს არის ცალმხრივი ზედაპირი, რომელსაც გადაკვეთის შემთხვევაში, მოგზაურის შემობრუნებისას შეიძლება უკან მივყვეთ საწყისამდე.

ამ სტატიაში ჩვენ ვაპირებთ გითხრათ ყველაფერი, რაც უნდა იცოდეთ Klein-ის ბოთლის, მისი მახასიათებლებისა და კურიოზების შესახებ.

ძირითადი მახასიათებლები

ბედნიერი კლეინი

სხვა დაკავშირებული არაორიენტირებადი ობიექტები მოიცავს მობიუსის ზოლებს და ჭეშმარიტ პროექციის სიბრტყეებს. Mobius ზოლები შეზღუდული ზედაპირებია, ხოლო Klein ბოთლებს არ აქვთ შეზღუდვები. შედარებისთვის, სფერო არის უსასრულოდ ორიენტირებადი ზედაპირი. კლაინის ბოთლი პირველად 1882 წელს აღწერა გერმანელმა მათემატიკოსმა ფელიქს კლაინმა.

ლონდონის მეცნიერების მუზეუმში გამოფენილია ხელნაკეთი Klein-ის შუშის ბოთლების კოლექცია, სადაც ნაჩვენებია მრავალი ვარიაცია ამ ტოპოლოგიურ თემაზე. ბოთლები 1995 წლით თარიღდება და დამზადებულია ალან ბენეტის მიერ მუზეუმისთვის.

თავად კლაინის ბოთლი არ არის გადაკვეთილი. თუმცა, არსებობს გზა ვიზუალურად შეიცავდეს კლეინის ბოთლს ოთხ განზომილებაში. თვითგადაკვეთები შეიძლება მოიხსნას მეოთხე განზომილების დამატებით სამგანზომილებიან სივრცეში. ნაზად ამოიღეთ მილის მონაკვეთი, რომელიც შეიცავს კვეთას თავდაპირველი 3D სივრციდან მეოთხე განზომილების გასწვრივ. სასარგებლო ანალოგია არის მრუდის განხილვა, რომელიც კვეთს სიბრტყეს. თვითგადაკვეთის ამოღება შესაძლებელია თვითმფრინავიდან ძაფების აწევით.

გასარკვევად, ვთქვათ, ავიღოთ დრო, როგორც მეოთხე განზომილება. განვიხილოთ, თუ როგორ უნდა ავაშენოთ გრაფიკი xyzt სივრცეში. თანდართული ფიგურა („ევოლუცია დროთა განმავლობაში…“) აჩვენებს ამ ფიგურის სასარგებლო ევოლუციას. t = 0-ზე კედელი ყვავის სადღაც "გადაკვეთის" მახლობლად. მას შემდეგ, რაც ფიგურა გაიზარდა, კედლის პირველმა ნაწილმა უკან დახევა დაიწყო, ჩეშირის კატავით გაქრა. მაგრამ დატოვა მისი ფართო ღიმილი. როდესაც ზრდის ფრონტი აღწევს იქ, სადაც გასროლაა, გადაკვეთა არაფერია და ზრდა სრულდება არსებული სტრუქტურის გახვრეტის გარეშე.

კლეინის ბოთლის თვისებები

კლეინის მათემატიკის ბოთლი

კლეინის კოლბა არის არაორიენტირებადი ზედაპირი, რომელიც ხშირად გამოსახულია როგორც გრძელყელიანი კოლბა მოხრილი კისრით, რომელიც შიგნიდან გადის საყრდენის გასახსნელად. Klein-ის ბოთლის უნიკალური ფორმა ნიშნავს, რომ მას აქვს მხოლოდ ერთი ზედაპირი: შიგნით ტოლია გარედან. კლეინის ბოთლი რეალურად არ შეიძლება არსებობდეს სამგანზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში, მაგრამ შუშის აფეთქებით წარმოდგენა შეიძლება მოგვცეს რამდენიმე საინტერესო შეხედულებისამებრ. ეს არ არის ნამდვილი კლეინის ბოთლი, მაგრამ ეს გვეხმარება იმის ვიზუალიზაციაში, თუ რას წარმოიდგენდა გერმანელი მათემატიკოსი ფელიქს კლაინი, როდესაც მას გაუჩნდა კლაინის ბოთლის იდეა.

თუ სიმბოლო მიმაგრებულია ორიენტირებად ზედაპირზე, როგორიცაა სფეროს გარე ნაწილი, ის ინარჩუნებს იგივე ორიენტაციას, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ ამოძრავებთ მას. Klein-ის ბოთლის სპეციალური ფორმა საშუალებას გაძლევთ გაასრიალოთ სიმბოლო სხვადასხვა მიმართულებით: ის შეიძლება გამოჩნდეს როგორც სარკისებური გამოსახულება იმავე ზედაპირზე. Klein-ის ბოთლის ეს თვისება შეუძლებელს ხდის მის ორიენტირებას.

კლაინის ბოთლს გერმანელი მათემატიკოსის ფელიქს კლაინის სახელი ეწოდა. ფელიქს კლეინის მუშაობამ მათემატიკაში მას კარგად იცნობდა მობიუსის ზოლები. Möbius ზოლები არის ქაღალდის ფურცელი, რომელიც ბრუნავს ნახევარი ბრუნით და უკავშირდება ბოლოდან ბოლომდე. ეს ირონია აქცევს ჩვეულებრივ ფურცელს არაორიენტირებად ზედაპირზე. ფელიქს კლაინი ამტკიცებდა, რომ თუ იგი დააკავშირებდა მობიუსის ორ ზოლს მათ კიდეებზე, შექმნიდა ახალი ტიპის ზედაპირს იგივე უცნაური თვისებებით: კლეინის ზედაპირი ან კლაინის ბოთლი.

Klein-ის ბოთლი აღწერილია, როგორც არაორიენტირებადი ზედაპირი, რადგან თუ ზედაპირზე მიმაგრებულია სიმბოლო, მას შეუძლია ისე სრიალდეს, რომ დაბრუნდეს იმავე მდგომარეობაში, როგორც სარკისებური გამოსახულება.

შესაძლებელია თუ არა კლაინის ბოთლის დამზადება რეალურ ცხოვრებაში?

უსასრულობის ბოთლი

სამწუხაროდ, მათთვის, ვისაც სურს იხილოს ნამდვილი კლეინის ბოთლები, ისინი ვერ აშენდება სამგანზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში, რომელშიც ჩვენ ვცხოვრობთ. დააკავშირეთ მობიუსის ორი ზოლის კიდეები კლეინის კოლბის ასაგებად ის ქმნის კვეთებს, რომლებიც არ არსებობს თეორიულ მოდელებში. Klein-ის ბოთლის რეალური მოდელი თავის თავზე უნდა გადასულიყო, როცა კისერი გვერდიდან ჩამოიჭრა. ეს გვაძლევს რაღაცას, რაც ნამდვილად არ არის ფუნქციური Klein ბოთლი, მაგრამ მაინც სახალისოა გამოკვლევა.

ვინაიდან კლაინის კოლბებს ბევრი უცნაური თვისება აქვთ მობიუსის ზოლებთან, მათ, ვისაც არ გვაქვს მათემატიკის ღრმა გაგება, რომ ნამდვილად გავიგოთ კლაინის კოლბების სირთულეები, შეგიძლიათ სცადოთ ფელიქს კლაინის მოებიუსის ზოლები.

კლეინის ზედაპირი

კლიფორდ სტოლი არის ამ გიგანტური Klein-ის ბოთლის დიზაინის ავტორი, რომლის ზომებია 106 სმ სიმაღლე, 62,2 სმ სიგანე და 163,5 სმ გარშემოწერილობა. იგი აშენდა Kildee Scientific Glass-ის მიერ 2001-2003 წლებში.

ობიექტის თავდაპირველი სახელი იყო არა Klein Flask (გერმანული Kleinsche Flasche), არამედ Klein Surface (გერმანული Kleinsche Fläche). პირველი საცნობარო ობიექტის თარგმნა გერმანულიდან ინგლისურ ენაზე დაბნეული სიტყვებით. 3D რენდერის გარეგნობის გამო, რომელიც ბოთლს მოგაგონებთ, ძნელად ვინმემ შეამჩნია შეცდომა.

თუ კლაინის ბოთლს ორად გავყოფთ მისი სიმეტრიის სიბრტყის გასწვრივ, ჩვენ ვქმნით მობიუსის ორ ზოლს, რომელთაგან თითოეული მეორის სარკისებური გამოსახულებაა (თითქოს ერთი სარკეში იყურება). შემდეგ, კლეინის ბოთლი არის არაორიენტირებადი ზედაპირის მაგალითი, როგორც მობიუსის ზოლები. მას სხვა ფუნქცია არ აქვს, გარდა მისი წარმოდგენისა. ორიენტირებადი ან არაორიენტირებადი ზედაპირები ტოპოლოგიური ცნებებია. ორივე არის ცალმხრივი ზედაპირის მაგალითი, რადგან ისინი არ არიან ორიენტირებადი. მისი მაგია მდგომარეობს იმაში, რომ შეუძლია მთლიანად დაფაროს იგი სრულიად უწყვეტი გზით, დაფაროს ყველა ის წერტილი, რომელიც ქმნის მას.

იმედი მაქვს, რომ ამ ინფორმაციის საშუალებით შეგიძლიათ გაიგოთ მეტი Klein-ის ბოთლისა და მისი მახასიათებლების შესახებ.


სტატიის შინაარსი იცავს ჩვენს პრინციპებს სარედაქციო ეთიკა. შეცდომის შესატყობინებლად დააჭირეთ ღილაკს აქ.

იყავი პირველი კომენტარი

დატოვე კომენტარი

თქვენი ელფოსტის მისამართი გამოქვეყნებული არ იყო.

*

*

  1. მონაცემებზე პასუხისმგებელი: მიგელ ანგელ გატონი
  2. მონაცემთა მიზანი: სპამის კონტროლი, კომენტარების მართვა.
  3. ლეგიტიმაცია: თქვენი თანხმობა
  4. მონაცემთა კომუნიკაცია: მონაცემები არ გადაეცემა მესამე პირებს, გარდა სამართლებრივი ვალდებულებისა.
  5. მონაცემთა შენახვა: მონაცემთა ბაზა, რომელსაც უმასპინძლა Occentus Networks (EU)
  6. უფლებები: ნებისმიერ დროს შეგიძლიათ შეზღუდოთ, აღადგინოთ და წაშალოთ თქვენი ინფორმაცია.