ક્લેઈન બોટલ

ટોપોલોજીમાં, ગણિતની એક શાખા, ક્લેઈન બોટલ બિન-ઓરિએન્ટેબલ સપાટીનું ઉદાહરણ છે. તે એક દ્વિ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ છે જેના માટે સામાન્ય વેક્ટર નક્કી કરવા માટે સિસ્ટમને સતત વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી. અનૌપચારિક રીતે, તે એક-બાજુની સપાટી છે જે, જો ઉપરથી પસાર થાય છે, તો પ્રવાસી ફરે છે ત્યારે તેને મૂળ તરફ અનુસરી શકાય છે.

આ લેખમાં અમે તમને ક્લીન બોટલ, તેની વિશેષતાઓ અને જિજ્ઞાસાઓ વિશે તમારે જે જાણવાની જરૂર છે તે બધું જ જણાવવા જઈ રહ્યા છીએ.

મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ

અન્ય સંબંધિત બિન-ઓરિએન્ટેબલ ઑબ્જેક્ટ્સમાં Möbius સ્ટ્રીપ્સ અને ટ્રુ પ્રોજેક્શન પ્લેનનો સમાવેશ થાય છે. મોબિઅસ સ્ટ્રીપ્સ મર્યાદિત સપાટી છે, જ્યારે ક્લેઈન બોટલની કોઈ મર્યાદા નથી. તુલનાત્મક રીતે, ગોળા એ અનંત રીતે દિશામાન સપાટી છે. ક્લેઈન બોટલનું સૌપ્રથમ વર્ણન 1882માં જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી ફેલિક્સ ક્લેઈન દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું.

લંડનના સાયન્સ મ્યુઝિયમમાં હાથથી ફૂંકાયેલી ક્લીન કાચની બોટલોનો સંગ્રહ પ્રદર્શનમાં છે, જે આ ટોપોલોજીકલ થીમ પર ઘણી વિવિધતા દર્શાવે છે. આ બોટલો 1995ની છે અને એલન બેનેટ દ્વારા મ્યુઝિયમ માટે બનાવવામાં આવી હતી.

ક્લેઈન બોટલ પોતે ઓળંગી નથી. જો કે, સમાવિષ્ટ ક્લેઈન બોટલને ચાર પરિમાણોમાં વિઝ્યુઅલાઈઝ કરવાની એક રીત છે. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં ચોથું પરિમાણ ઉમેરીને સ્વ-છેદન દૂર કરી શકાય છે. ચોથા પરિમાણ સાથે મૂળ 3D સ્પેસની બહાર આંતરછેદ ધરાવતા ટ્યુબ વિભાગને નરમાશથી દબાણ કરો. એક ઉપયોગી સામ્યતા એ છે કે વિમાનને છેદતા વળાંકને ધ્યાનમાં લેવું. પ્લેનમાંથી થ્રેડોને ઉપાડીને સ્વ-છેદન દૂર કરી શકાય છે.

સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો કહીએ કે આપણે ચોથા પરિમાણ તરીકે સમય લઈએ છીએ. xyzt જગ્યામાં ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો તે ધ્યાનમાં લો. જોડાયેલ આકૃતિ ("સમય પર ઉત્ક્રાંતિ...") આ આકૃતિની ઉપયોગી ઉત્ક્રાંતિ દર્શાવે છે. t = 0 પર, દિવાલ "છેદન" ની નજીક ક્યાંક ફૂટે છે. આકૃતિ મોટી થઈ તે પછી, દિવાલનો પ્રથમ ભાગ ચેશાયર બિલાડીની જેમ અદૃશ્ય થઈને નીચે આવવા લાગ્યો, પરંતુ તેના વિશાળ સ્મિત પાછળ છોડીને. જ્યારે ગ્રોથ ફ્રન્ટ જ્યાં અંકુર છે ત્યાં પહોંચે છે, ત્યાં ક્રોસ કરવા માટે કંઈ નથી અને હાલની રચનાને વીંધ્યા વિના વૃદ્ધિ પૂર્ણ થાય છે.

ક્લેઈન બોટલ ગુણધર્મો

ક્લેઈન ફ્લાસ્ક એ બિન-ઓરિએન્ટેબલ સપાટી છે જે ઘણીવાર વળાંકવાળા ગરદન સાથે લાંબી ગળાના ફ્લાસ્ક તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે જે આધાર તરીકે ખોલવા માટે અંદરથી પસાર થાય છે. ક્લેઈન બોટલના અનન્ય આકારનો અર્થ એ છે કે તેની માત્ર એક સપાટી છે: અંદરની બાજુ બહારની સમાન છે. ક્લેઈન બોટલ વાસ્તવમાં ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં અસ્તિત્વમાં હોઈ શકતી નથી, પરંતુ કાચથી ફૂંકાતી રજૂઆત આપણને કેટલીક રસપ્રદ આંતરદૃષ્ટિ આપી શકે છે. આ વાસ્તવિક ક્લીન બોટલ નથી, પરંતુ તે કલ્પના કરવામાં મદદ કરે છે કે જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી ફેલિક્સ ક્લેઈન જ્યારે ક્લેઈન બોટલ માટે વિચાર આવ્યો ત્યારે તેણે શું કલ્પના કરી હતી.

જો પ્રતીક દિશામાન સપાટી સાથે જોડાયેલ હોય, જેમ કે ગોળાની બહાર, તો તમે તેને ગમે તે રીતે ખસેડો તો પણ તે સમાન દિશા જાળવી રાખશે. ક્લીન બોટલનો વિશિષ્ટ આકાર તમને પ્રતીકને જુદી જુદી દિશામાં સ્લાઇડ કરવાની મંજૂરી આપે છે: તે એક જ સપાટી પર પોતાની પ્રતિબિંબ તરીકે દેખાઈ શકે છે. ક્લેઈન બોટલની આ મિલકત તેને લક્ષી બનાવવી અશક્ય બનાવે છે.

ક્લેઈન બોટલનું નામ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી ફેલિક્સ ક્લેઈનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. ગણિતમાં ફેલિક્સ ક્લેઈનના કામે તેમને મોબિયસ સ્ટ્રીપ્સથી ખૂબ જ પરિચિત કર્યા. Möbius સ્ટ્રીપ એ કાગળની એક શીટ છે જે અડધા વળાંકને ફેરવવામાં આવે છે અને છેડાથી છેડે જોડાયેલ છે. આ ટ્વિસ્ટ કાગળની સામાન્ય શીટને બિન-ઓરિએન્ટેબલ સપાટીમાં ફેરવે છે. ફેલિક્સ ક્લેઈને તર્ક આપ્યો કે જો તે તેમની કિનારીઓ સાથે બે Möbius સ્ટ્રીપ્સને જોડશે, તો તે સમાન વિચિત્ર ગુણધર્મો સાથે નવી પ્રકારની સપાટી બનાવશે: ક્લેઈન સપાટી અથવા ક્લેઈન બોટલ.

ક્લેઈન બોટલને બિન-ઓરિએન્ટેબલ સપાટી તરીકે વર્ણવવામાં આવી છે કારણ કે જો કોઈ પ્રતીક સપાટી સાથે જોડાયેલ હોય, તો તે એવી રીતે સ્લાઈડ થઈ શકે છે કે તે મિરર ઈમેજ જેવી જ સ્થિતિમાં પરત આવી શકે છે.

શું વાસ્તવિક જીવનમાં ક્લીન બોટલ બનાવી શકાય?

કમનસીબે આપણામાંના જેઓ વાસ્તવિક ક્લેઈન બોટલો જોવા માંગે છે, તેઓને આપણે જે ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યામાં રહીએ છીએ ત્યાં બાંધી શકાતા નથી. ક્લેઈન ફ્લાસ્ક બનાવવા માટે બે Möbius સ્ટ્રીપ્સની કિનારીઓને જોડો તે આંતરછેદો બનાવે છે જે સૈદ્ધાંતિક મોડેલોમાં અસ્તિત્વમાં નથી. જ્યારે ગરદન બાજુમાંથી બહાર આવી ત્યારે ક્લેઈન બોટલના વાસ્તવિક મોડલને પોતાની ઉપર જ જવું પડ્યું. આ અમને કંઈક આપે છે જે ખરેખર કાર્યાત્મક ક્લેઈન બોટલ નથી, પરંતુ તે હજુ પણ તપાસવામાં મજા છે.

ક્લેઈન ફ્લાસ્ક મોબિયસ સ્ટ્રીપ્સ સાથે ઘણી વિચિત્ર ગુણધર્મો વહેંચે છે, આપણામાંના જેઓ ક્લેઈન ફ્લાસ્કની જટિલતાઓને ખરેખર સમજવા માટે ગણિતની ઊંડી સમજ ધરાવતા નથી તેઓ ફેલિક્સ ક્લેઈનની મોબિયસ સ્ટ્રીપ્સની રસપ્રદ શોધ અજમાવી શકે છે.

ક્લેઈન સપાટી

ક્લિફોર્ડ સ્ટોલ આ વિશાળ ક્લેઈન બોટલની ડિઝાઇન પાછળનો માણસ છે, જે 106 સેમી લાંબી, 62,2 સેમી પહોળી અને 163,5 સેમી પરિઘ ધરાવે છે. તે 2001 અને 2003 ની વચ્ચે કિલ્ડી સાયન્ટિફિક ગ્લાસ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું હતું.

ઑબ્જેક્ટનું મૂળ નામ ક્લેઈન ફ્લાસ્ક (જર્મન ક્લેઈનશે ફ્લેશે) ન હતું, પરંતુ ક્લેઈન સરફેસ (જર્મન ક્લેઈનશે ફ્લાચે) હતું. સંદર્ભના પ્રથમ ઑબ્જેક્ટનો જર્મનથી અંગ્રેજીમાં અનુવાદ મૂંઝવણભર્યા શબ્દો. બોટલની યાદ અપાવે તેવા 3D રેન્ડરિંગના દેખાવને કારણે, ભાગ્યે જ કોઈએ ભૂલની નોંધ લીધી.

જો આપણે ક્લેઈન બોટલને તેના સમપ્રમાણતાના સમતલ સાથે બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ, તો આપણે બે મોબિયસ સ્ટ્રીપ્સ બનાવીશું, જેમાંથી દરેક અન્યની અરીસાની છબી છે (જેમ કે કોઈ અરીસામાં જોઈ રહ્યું હોય). પછી, ક્લેઈન બોટલ બિન-ઓરિએન્ટેબલ સપાટીનું ઉદાહરણ છે, જેમ કે મોબિયસ સ્ટ્રીપ છે. તેનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા સિવાય તેનું બીજું કોઈ કાર્ય નથી. ઓરિએન્ટેબલ અથવા નોન-ઓરિએન્ટેબલ સપાટીઓ ટોપોલોજીકલ ખ્યાલો છે. બંને એકતરફી સપાટીના ઉદાહરણો છે, કારણ કે તે દિશામાન નથી. તેનો જાદુ તેની રચના કરતા તમામ મુદ્દાઓને આવરી લેતા તેને સંપૂર્ણ રીતે સતત ઢાંકવામાં સક્ષમ થવામાં રહેલો છે.

હું આશા રાખું છું કે આ માહિતીથી તમે ક્લેઈન બોટલ અને તેની લાક્ષણિકતાઓ વિશે વધુ જાણી શકશો.