números perfectos

As matemáticas existen dende o principio. Se hai que crer o descubrimento do óso de Ishango (hai máis de 20.000 anos), quizais fose a primeira proba do coñecemento dos primeiros números primos e da multiplicación, pero o tema segue sendo controvertido. Aínda que as matemáticas seguen sendo un misterio para moitos de nós, algúns ven como unha boa forma de comprender e analizar o mundo. En matemáticas hai números perfectosAlgo que moita xente descoñece.

Neste artigo imos contarche todo o que necesitas saber sobre os números perfectos e as súas características.

cales son os números perfectos

Os números perfectos tratan de atopar números primos de Mersenne. De feito, a proposición 36 do libro IX dos elementos de Euclides di que se o número de Mersenne 2n – 1 é primo, entón 2n-1 (2n – 1) é un número perfecto.

René Descartes confirmou nunha carta a Mason que calquera número par era Euclides, pero non demostrou a súa teoría. Pola contra, o matemático suízo Leonhard Euler Foi o primeiro en demostrar a observación cartesiana. A combinación dos resultados de Euclides e Euler permite obter unha caracterización completa dos números perfectos.

Os catro primeiros números perfectos coñécense dende tempos antigos. Aparecen nas obras de Nico Marcos de Graça e Theon de Smyrna. O quinto número perfecto menciónase no Código latino de 1456. O sexto e o sétimo número perfecto foron descubertos por Cataldi no século XVI. e o oitavo por Euler en 1772.

Así que a principios dos anos 1950 coñeciamos 12 números perfectos, pero despois grazas a GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), a busca acelerouse coa tecnoloxía cada vez máis sofisticada e o uso de ordenadores nos anos 1990.

Para que serven

Se moitos matemáticos consideran que os números primos son a base da aritmética, entón os números perfectos non teñen ningún uso particular, xa que non se utilizan para resolver ecuacións, factorizar ou entrar no ámbito da criptografía.

Nos tempos antigos, eran considerados superiores, e alguén viu nel un papel místico: "O seis en si é un número perfecto, non porque Deus crea todo en seis días, senón porque Deus creou todo en seis días porque o número é perfecto" - San Agostiño na Cidade de Deus (420 d.C.)

Son un dos misterios das matemáticas, e a busca de novos números perfectos segue fascinando a moitos matemáticos.

Hai moitas conjeturas sobre os números perfectos. Unha conxectura é unha regra que nunca foi probada. Aquí tes tres:

• Os números perfectos de Euclides son todos números pares porque un dos factores é unha potencia de 2. Pero non hai probas que demostren que non hai números perfectos impares;
• Todos os números perfectos coñecidos rematan en 6 ou 28, pero non sempre é así;
• Tampouco se demostrou que existan de feito infinitos números perfectos.

cales son os números perfectos

Os números perfectos son raros. Aínda que todos os matemáticos coinciden en que hai un número infinito deles (nunca probado), hoxe só coñecemos 50 e nin sequera podemos estar seguros de que non haxa un número medio perfecto sen descubrir desde o 47.

O último número perfecto descubriuse en xaneiro de 2018. O descubrimento dun novo número primo moi grande significa o descubrimento dun novo número perfecto, que é o descubrimento do número 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Só hai tres números perfectos inferiores a 1000: 6, 28 e 496. Ao parecer, incluso os números perfectos rematan en 6 ou en 8, aínda que isto nunca se demostrou, non sempre é así.

Os números perfectos pares da fórmula 2n-1 (2n – 1) son números triangulares (ou incluso hexagonais). Por outra banda, todos os números pares excepto o primeiro número perfectamente par son a suma de 2(n-1)/2 cubos dos primeiros números impares. Por exemplo:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

Os oito primeiros números perfectos son:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843 008 139 952 128.

Algún historia

San Agostiño, tamén coñecido como Agostiño de Hipona (354-430), fFoi un filósofo, escritor, matemático e sacerdote romano. Se estudaches a materia de filosofía, o nome será familiar, xa que é un dos filósofos que adoita estudar a materia. Como moitos outros intelectuais da súa época, San Agustín foi un dos que desenvolveu e afondou coñecementos en campos que van dende a filosofía ata as matemáticas, con moito máis que ver do que hoxe podemos imaxinar.

Ben, Agostiño de Hipona dixo que os números perfectos teñen unha razón para existir. Na súa obra A cidade de Deus, explicou que 6 é perfecto porque Deus creou o mundo en seis días. O seguinte número, 28, corresponde ao número de días que tarda a Lúa en dar unha volta arredor da Terra. Esta afirmación non está exenta de polémica, casualidade ou non?

Non se dá explicación para os dous números seguintes. Son 496 e 8128. Os catro primeiros números foron descubertos xa no século I d. C. por Nicómaco de Gerasa, un filósofo e matemático que viviu na antiga cidade de Decápolis, hoxe Xordania, que pertencía ao Imperio Romano.

Para atopar o quinto número perfecto tivemos que dar un gran salto na historia ata chegar ao século XV, xa que o quinto número perfecto 33 550 336 apareceu en manuscritos deste século. O sexto e o sétimo, 8.589.869.056 e 137.438.691.328, foron descubertos un século despois, en 1588, polo matemático italiano Pietro Cataldi.

Do mesmo xeito que os números perfectos, só se coñece un número finito de números de Mersenne. Os números levan o nome de Marin Mason, o home que expuxo unha serie de hipóteses sobre eles. Mason foi un filósofo, matemático e sacerdote francés (1588-1648).

Foi Euler quen descubriu estes números especiais, grazas ás bases postas por Mason. Leonhard Paul Euler (1707-1783) foi un matemático e físico suízo. Por suposto, o seu nome xa che será familiar, porque atopar o oitavo número perfecto non foi o seu único logro. Tamén recibiu o seu nome do número de Euler (e), que se usa en moitas fórmulas físicas e computacionais.

Espero que con esta información poidas saber máis sobre estes números e as súas características.