botella klein

En topoloxía, unha rama das matemáticas, botella klein é un exemplo de superficie non orientable. É unha variedade bidimensional para a cal non se pode definir de forma consistente un sistema para determinar os vectores normais. De xeito informal, trátase dunha superficie dun só lado que, se se pasa por riba, pódese seguir ata a orixe mentres o viaxeiro dá a volta.

Neste artigo imos contarche todo o que debes saber sobre a botella Klein, as súas características e curiosidades.

características clave

Outros obxectos non orientables relacionados inclúen tiras de Möbius e verdadeiros planos de proxección. As tiras Mobius son superficies limitadas, mentres que as botellas Klein non teñen límites. En comparación, unha esfera é unha superficie infinitamente orientable. A botella de Klein foi descrita por primeira vez en 1882 polo matemático alemán Felix Klein.

Unha colección de botellas de vidro Klein sopradas a man está exposta no Science Museum de Londres, mostrando moitas variacións deste tema topolóxico. As botellas datan de 1995 e foron feitas por Alan Bennett para o museo.

A propia botella de Klein non se cruza. Non obstante, hai unha forma de visualizar a botella de Klein contida en catro dimensións. As autointerseccións pódense eliminar engadindo unha cuarta dimensión no espazo tridimensional. Empuxa suavemente unha sección de tubo que contén a intersección fóra do espazo 3D orixinal ao longo da cuarta dimensión. Unha analoxía útil é considerar unha curva que corta un plano. As autointerseccións pódense eliminar levantando os fíos do plano.

Para aclarar, digamos que tomamos o tempo como a cuarta dimensión. Considere como construír unha gráfica no espazo xyzt. A figura adxunta ("Evolución no tempo...") mostra unha evolución útil desta figura. En t = 0, a parede brota nalgún lugar preto da "intersección". Despois de que a figura creceu, a primeira parte da parede comezou a retroceder, desaparecendo como un gato de Cheshire, pero deixando atrás o seu amplo sorriso. Cando a fronte de crecemento chega onde está o brote, non hai nada que cruzar e o crecemento está completo sen perforar a estrutura existente.

Propiedades da botella Klein

Un matraz Klein é unha superficie non orientable que adoita representarse como un matraz de colo longo cun colo curvo que se pasa dende o interior para abrirse como base. A forma única da botella Klein significa que só ten unha superficie: o interior é igual ao exterior. En realidade, unha botella de Klein non pode existir no espazo euclidiano tridimensional, pero unha representación de soplado de vidro pode darnos algunhas ideas interesantes. Esta non é unha verdadeira botella klein, pero axuda a visualizar o que o matemático alemán Felix Klein imaxinaba cando se lle ocorreu a idea da botella de Klein.

Se o símbolo está unido a unha superficie orientable, como o exterior dunha esfera, manterá a mesma orientación sen importar como o movas. A forma especial da botella Klein permítelle deslizar o símbolo en diferentes direccións: pode aparecer como unha imaxe especular sobre a mesma superficie. Esta propiedade da botella Klein fai imposible orientala.

A botella de Klein leva o nome do matemático alemán Felix Klein. O traballo de Felix Klein en matemáticas fíxoo moi familiarizado coas tiras de Möbius. Unha tira de Möbius é unha folla de papel que se xira media volta e se conecta de extremo a extremo. Este xiro converte unha folla de papel normal nunha superficie non orientable. Felix Klein razoou que se unía dúas tiras de Möbius ao longo dos seus bordos, crearía un novo tipo de superficie coas mesmas propiedades estrañas: unha superficie de Klein ou unha botella de Klein.

A botella de Klein descríbese como unha superficie non orientable porque se un símbolo está unido á superficie, pode deslizarse de tal xeito que pode volver á mesma posición que unha imaxe especular.

Pódese facer unha botella Klein na vida real?

Desafortunadamente para aqueles de nós que queremos ver botellas de Klein reais, non se poden construír no espazo euclidiano tridimensional no que vivimos. Conecta os bordos de dúas tiras de Möbius para construír un matraz Klein crea interseccións que non existen nos modelos teóricos. O modelo real da botella Klein tivo que pasarse por si mesmo cando o pescozo saíu do lado. Isto dános algo que non é realmente unha botella Klein funcional, pero que aínda é divertido de examinar.

Dado que os frascos de Klein comparten moitas propiedades estrañas coas tiras de Möbius, aqueles de nós que non temos unha comprensión profunda das matemáticas para comprender realmente as complejidades dos frascos de Klein podemos probar as tiras de Moebius de Felix Klein Fascinating find .

Superficie Klein

Clifford Stoll é o home detrás do deseño desta botella Klein xigante, que mide 106 cm de alto, 62,2 cm de ancho e 163,5 cm de circunferencia. Foi construído por Kildee Scientific Glass entre 2001 e 2003.

O nome orixinal do obxecto non era Klein Flask (alemán Kleinsche Flasche), senón Klein Surface (alemán Kleinsche Fläche). A tradución do primeiro obxecto de referencia do alemán ao inglés confundiu palabras. Debido á aparición da representación en 3D que lembra a unha botella, case ninguén se decatou do erro.

Se dividimos a botella de Klein en dúas ao longo do seu plano de simetría, creamos dúas tiras de Möbius, cada unha das cales é unha imaxe especular da outra (como se unha se mirase nun espello). Entón, unha botella Klein é un exemplo de superficie non orientable, como é unha franxa de Möbius. Non ten outra función que representalo. As superficies orientables ou non orientables son conceptos topolóxicos. Ambos son exemplos de superficies unilaterales, xa que non son orientables. A súa maxia reside en poder cubrila completamente de forma totalmente continua, cubrindo todos os puntos que a forman.

Espero que con esta información poidas saber máis sobre a botella Klein e as súas características.