En topologie, une branche des mathématiques, petite bouteille est un exemple de surface non orientable. C'est une variété bidimensionnelle pour laquelle un système ne peut pas être défini de manière cohérente pour déterminer les vecteurs normaux. De manière informelle, il s'agit d'une surface à un seul côté qui, si elle est franchie, peut être suivie jusqu'à l'origine lorsque le voyageur se retourne.
Dans cet article, nous allons vous dire tout ce que vous devez savoir sur la bouteille Klein, ses caractéristiques et ses curiosités.
Caractéristiques principales
D'autres objets non orientables associés incluent les bandes de Möbius et les vrais plans de projection. Les bandes Mobius sont des surfaces limitées, tandis que les bouteilles Klein n'ont pas de limites. Par comparaison, une sphère est une surface infiniment orientable. La bouteille de Klein a été décrite pour la première fois en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein.
Une collection de bouteilles en verre Klein soufflées à la bouche est exposée au Science Museum de Londres, montrant de nombreuses variations sur ce thème topologique. Les bouteilles datent de 1995 et ont été fabriquées par Alan Bennett pour le musée.
La bouteille Klein elle-même n'est pas barrée. Cependant, il existe un moyen de visualiser la bouteille de Klein contenue en quatre dimensions. Les auto-intersections peuvent être supprimées en ajoutant une quatrième dimension dans l'espace tridimensionnel. Poussez doucement une section de tube contenant l'intersection hors de l'espace 3D d'origine le long de la quatrième dimension. Une analogie utile consiste à considérer une courbe coupant un plan. Les auto-intersections peuvent être supprimées en soulevant les fils du plan.
Pour clarifier, disons que nous prenons le temps comme quatrième dimension. Considérez comment construire un graphique dans l'espace xyzt. La figure ci-jointe (« Évolution dans le temps… ») montre une évolution utile de cette figure. À t = 0, le mur jaillit quelque part près de "l'intersection". Après que la silhouette ait grossi, la première partie du mur a commencé à reculer, disparaissant comme un chat du Cheshire, mais laissant derrière lui son large sourire. Lorsque le front de croissance atteint la pousse, il n'y a plus rien à traverser et la croissance est complète sans percer la structure existante.
Propriétés de la bouteille de Klein
Une fiole de Klein est une surface non orientable qui est souvent représentée comme une fiole à col long avec un col incurvé qui est passé de l'intérieur pour s'ouvrir comme base. La forme unique de la bouteille Klein signifie qu'elle n'a qu'une seule surface : l'intérieur est égal à l'extérieur. Une bouteille de Klein ne peut pas réellement exister dans un espace euclidien tridimensionnel, mais une représentation en verre soufflé peut nous donner des informations intéressantes. Ce n'est pas une vraie bouteille de klein, mais cela aide à visualiser ce que le mathématicien allemand Felix Klein envisageait lorsqu'il a eu l'idée de la bouteille Klein.
Si le symbole est attaché à une surface orientable, telle que l'extérieur d'une sphère, il conservera la même orientation quelle que soit la façon dont vous le déplacez. La forme spéciale de la bouteille Klein vous permet de faire glisser le symbole dans différentes directions : il peut apparaître comme une image miroir de lui-même sur la même surface. Cette propriété de la bouteille de Klein rend impossible son orientation.
La bouteille Klein porte le nom du mathématicien allemand Felix Klein. Les travaux de Felix Klein en mathématiques l'ont rendu très familier avec les bandes de Möbius. Une bande de Möbius est une feuille de papier qui est tournée d'un demi-tour et reliée bout à bout. Cette torsion transforme une feuille de papier ordinaire en une surface non orientable. Felix Klein a estimé que s'il réunissait deux bandes de Möbius le long de leurs bords, il créerait un nouveau type de surface avec les mêmes propriétés étranges : une surface de Klein ou une bouteille de Klein.
La bouteille de Klein est décrite comme une surface non orientable car si un symbole est attaché à la surface, il peut glisser de telle manière qu'il peut revenir à la même position qu'une image miroir.
Une bouteille Klein peut-elle être fabriquée dans la vraie vie ?
Malheureusement pour ceux d'entre nous qui veulent voir de vraies bouteilles Klein, elles ne peuvent pas être construites dans l'espace euclidien tridimensionnel dans lequel nous vivons. Connectez les bords de deux bandes de Möbius pour construire une fiole de Klein il crée des intersections qui n'existent pas dans les modèles théoriques. Le modèle réel de la bouteille Klein devait se repasser lorsque le goulot se détachait sur le côté. Cela nous donne quelque chose qui n'est pas vraiment une bouteille Klein fonctionnelle, mais qui reste amusant à examiner.
Étant donné que les flacons de Klein partagent de nombreuses propriétés étranges avec les bandes de Möbius, ceux d'entre nous qui n'ont pas une compréhension approfondie des mathématiques pour vraiment comprendre les subtilités des flacons de Klein peuvent essayer les bandes de Moebius de Felix Klein. Une découverte fascinante.
surface klein
Clifford Stoll est l'homme derrière la conception de cette bouteille géante de Klein, qui mesure 106 cm de haut, 62,2 cm de large et 163,5 cm de circonférence. Il a été construit par Kildee Scientific Glass entre 2001 et 2003.
Le nom original de l'objet n'était pas Klein Flask (allemand Kleinsche Flasche), mais Klein Surface (allemand Kleinsche Fläche). La traduction du premier objet de référence de l'allemand vers l'anglais a confondu les mots. En raison de l'apparence du rendu 3D rappelant une bouteille, presque personne n'a remarqué le bug.
Si nous divisons la bouteille de Klein en deux le long de son plan de symétrie, nous créons deux bandes de Möbius, dont chacune est une image miroir de l'autre (comme si l'on se regardait dans un miroir). Ensuite, une bouteille de Klein est un exemple de surface non orientable, tout comme une bande de Möbius. Il n'a d'autre fonction que de le représenter. Les surfaces orientables ou non orientables sont des concepts topologiques. Les deux sont des exemples de surfaces à un seul côté, car elles ne sont pas orientables. Sa magie réside dans le fait de pouvoir le recouvrir complètement de manière totalement continue, couvrant tous les points qui le composent.
J'espère qu'avec ces informations, vous pourrez en apprendre davantage sur la bouteille Klein et ses caractéristiques.