Ένα φράκταλ είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο που μπορεί να χωριστεί σε μέρη, καθένα παρόμοιο με το αρχικό αντικείμενο. Τα φράκταλ έχουν άπειρες λεπτομέρειες και συχνά είναι όμοια και κλιμακωμένα. Σε πολλές περιπτώσεις, fractals μπορούν να δημιουργηθούν από επαναλαμβανόμενα μοτίβα, επαναλαμβανόμενες ή επαναληπτικές διαδικασίες.
Σε αυτό το άρθρο θα σας πούμε όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε για τα φράκταλ, τα χαρακτηριστικά και τη σημασία τους.
Ιδιότητες φράκταλ
Οι κύριες ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τα φράκταλ είναι η αυτο-ομοιότητα, η άπειρη πολυπλοκότητα και η διάσταση.
ομοιότητα του εαυτού
Η αυτο-ομοιότητα είναι όταν ένα μέρος ενός σχήματος ή ενός περιγράμματος μπορεί να θεωρηθεί ως αντίγραφο του συνόλου, σε μικρότερη κλίμακα.
άπειρη πολυπλοκότητα
Αναφέρεται στο γεγονός ότι η διαδικασία σχηματισμού γραφήματος είναι αναδρομική. Αυτό σημαίνει ότι όταν εκτελείται μια διαδικασία, η ίδια η διαδικασία που εκτελέστηκε προηγουμένως θεωρείται υποδιαδικασία στη διαδικασία της.
Αξίζει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση της επαναληπτικής κατασκευής ενός μαθηματικά καθορισμένου φράκταλ, το πρόγραμμα που θα εκτελεστεί είναι άπειρο, κάτι που έχει ως αποτέλεσμα μια απείρως πολύπλοκη δομή.
διαστάσεις
Σε αντίθεση με την Ευκλείδεια γεωμετρία, οι διαστάσεις των φράκταλ δεν είναι απαραίτητα ακέραιες τιμές. Σε αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών, τα σημεία έχουν μηδενική διάσταση, οι γραμμές έχουν μία διάσταση, οι επιφάνειες έχουν δύο διαστάσεις και οι όγκοι έχουν τρεις διαστάσεις. Στην περίπτωση της διάστασης φράκταλ, αυτή είναι μια κλασματική ποσότητα που αντιπροσωπεύει πόσο καλά μια δομή καταλαμβάνει το χώρο που την περιέχει.
παραδείγματα φράκταλ
Τα πρώτα φράκταλ που μελετήθηκαν ήταν το σύνολο Cantor, η νιφάδα χιονιού Koch και το τρίγωνο Sierpinski. Τα φράκταλ μπορούν να ληφθούν γεωμετρικά ή στοχαστικά μέσω αναδρομικών διεργασιών και μπορούν να λάβουν τα χαρακτηριστικά διαφορετικών τύπων σχημάτων που βρίσκονται στη φύση.
Τα φράκταλ υπάρχουν παντού. Υπάρχουν πολλά φυσικά αντικείμενα που θεωρούνται φυσικά φράκταλ λόγω της συμπεριφοράς ή της δομής τους, αλλά πρόκειται για πεπερασμένους τύπους φράκταλ, που τα διακρίνει από τα φράκταλ μαθηματικού τύπου που δημιουργούνται από αναδρομικές αλληλεπιδράσεις. Παραδείγματα αυτών είναι τα σύννεφα και τα δέντρα.
Κύρια χαρακτηριστικά
Η λέξη "fractal" προέρχεται από το λατινικό fractus, που σημαίνει "θρυμματισμένο", "σπασμένο", ή απλά "σπασμένο" ή "σπασμένο" και ταιριάζει πολύ σε αντικείμενα με κλασματικές διαστάσεις. Ο όρος επινοήθηκε από τον Benoît Mandelbrot το 1977 και εμφανίστηκε στο βιβλίο του Fractal Geometry of Nature. Η μελέτη φράκταλ αντικειμένων ονομάζεται συχνά φράκταλ γεωμετρία.
Ένα φράκταλ είναι ένα μαθηματικό σύνολο που μπορεί να απολαμβάνει την ομοιότητα του εαυτού του σε οποιαδήποτε κλίμακα και οι διαστάσεις του δεν είναι ακέραιοι ή αν ήταν, δεν θα ήταν συνηθισμένοι ακέραιοι. Το γεγονός ότι είναι αυτο-όμοιο σημαίνει ότι το φράκταλ αντικείμενο δεν εξαρτάται από τον ίδιο τον παρατηρητή, δηλαδή αν πάρουμε κάποιο είδος φράκταλ, μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι όταν κάνουμε διπλό ζουμ, το σχέδιο είναι ίδιο με το πρώτο. Αν κάνουμε μεγέθυνση κατά 1000, επαληθεύουμε τις ίδιες ιδιότητες, οπότε αν αυξήσουμε το n, η γραφική παράσταση είναι ίδια, άρα το μέρος είναι παρόμοιο με το σύνολο.
Μια συλλογή ή ένα αντικείμενο λέγεται ότι είναι φράκταλ όταν γίνεται αυθαίρετα μεγάλο καθώς η κλίμακα του οργάνου μέτρησης μειώνεται. Υπάρχουν πολλά συνηθισμένα αντικείμενα που θεωρούνται φυσικά λόγω της δομής ή της συμπεριφοράς τους.ακόμα κι αν δεν τους αναγνωρίζουμε. Τα σύννεφα, τα βουνά, οι ακτές, τα δέντρα και τα ποτάμια είναι όλα φυσικά φράκταλ, αν και πεπερασμένα και επομένως όχι ιδανικά, σε αντίθεση με τα μαθηματικά φράκταλ που απολαμβάνουν το άπειρο και είναι ιδανικά.
Φράκταλ και επιστήμη
Η τέχνη του φράκταλ συνδέεται στενά με τα μαθηματικά, ιδιαίτερα τη γεωμετρία, αφού, όπως υποδηλώνει το όνομά του, χρησιμοποιεί την έννοια των φράκταλ. Τα φράκταλ βασίζονται στη συνεχή επανάληψη ενός αυτοσυσχετιζόμενου γεωμετρικού σχεδίου, δηλαδή το μέρος είναι ίσο με το σύνολο.
Κατά την κατασκευή του τριγώνου Sierpinski, από ένα ισόπλευρο τρίγωνο, πάρτε το μέσο του, σχηματίστε ένα νέο ισόπλευρο τρίγωνο και αφαιρέστε το κεντρικό. Στη συνέχεια κάντε το ίδιο με κάθε τρίγωνο που απομένει, και ούτω καθεξής, άρα θεωρείται φράκταλ. Ο Benoit Mandelbrot, ο οποίος ανακάλυψε τα μαθηματικά σχήματα γνωστά ως φράκταλ, πέθανε από καρκίνο σε ηλικία 85 ετών. Ο Mandelbrot, Γάλλος και Αμερικανός πολίτης, ανέπτυξε τα φράκταλ ως μια μαθηματική μέθοδο για να κατανοήσει την άπειρη πολυπλοκότητα της φύσης.
Για να αντιμετωπίσουμε την ταξινόμηση από γενική σε ειδική, μπορούμε να τα χωρίσουμε σε δύο μεγάλες κατηγορίες: ντετερμινιστικά φράκταλ (τα οποία με τη σειρά τους μπορεί να είναι αλγεβρικά ή γεωμετρικά) και μη ντετερμινιστικά φράκταλ (γνωστά και ως στοχαστικά φράκταλ).
Τα γραμμικά φράκταλ είναι αυτά που κατασκευάζονται καθώς ποικίλλουν οι κλίμακες, δηλαδή είναι πανομοιότυπα σε όλες τις κλίμακες. Τα μη γραμμικά φράκταλ, από την άλλη πλευρά, προκύπτουν από σύνθετες παραμορφώσεις ή όπως υποδηλώνει το όνομα, να χρησιμοποιήσω έναν όρο στα χαοτικά μαθηματικά, μη γραμμικές παραμορφώσεις.
Καθημερινή ζωή
Τα περισσότερα καθαρά μαθηματικά και φυσικά αντικείμενα είναι μη γραμμικά. Στα μαθηματικά, η αυτο-ομοιότητα, που μερικές φορές ονομάζεται αυτο-ομοιότητα, είναι μια ιδιότητα ενός αντικειμένου (που ονομάζεται αυτο-όμοιο αντικείμενο) στο οποίο το σύνολο είναι ακριβώς ή περίπου παρόμοιο με το ίδιο μέρος, για παράδειγμα όταν το σύνολο έχει το ίδιο με ένα ή περισσότερα στο σχήμα των μερών του.
Ένα φράκταλ χαρακτηρίζεται από μια περίμετρο που τείνει στο άπειρο ως προσθέτετε όλο και μικρότερες λεπτομέρειες με διαδοχικές επαναλήψεις. Ωστόσο, αυτή η καμπύλη δεν επικαλύπτει χρονικούς περιορισμούς του κύκλου που περιβάλλει το αρχικό τρίγωνο. Τα σύννεφα, τα βουνά, τα κυκλοφορικά συστήματα, οι ακτές ή οι νιφάδες χιονιού είναι όλα φυσικά φράκταλ. Αυτή η αναπαράσταση είναι κατά προσέγγιση επειδή οι ιδιότητες των ιδανικών αντικειμένων, όπως η άπειρη λεπτομέρεια, είναι περιορισμένης φύσης.
Η γεωμετρία φράκταλ επιχειρεί να μοντελοποιήσει και να περιγράψει πολλά φυσικά φαινόμενα και επιστημονικά πειράματα, και σε λίγα μόλις χρόνια έγινε ένα πολυεπιστημονικό εργαλείο που χρησιμοποιείται από επιστήμονες, γιατρούς, καλλιτέχνες, κοινωνιολόγους, οικονομολόγους, μετεωρολόγους, μουσικούς, επιστήμονες υπολογιστώνΚ.λπ.
Ελπίζω ότι με αυτές τις πληροφορίες μπορείτε να μάθετε περισσότερα για τα φράκταλ και τα χαρακτηριστικά τους.