τέλειοι αριθμοί

Τα μαθηματικά υπάρχουν από την αρχή. Αν πρέπει να πιστέψουμε την ανακάλυψη του οστού Ishango (πάνω από 20.000 χρόνια πριν), μπορεί να ήταν η πρώτη απόδειξη της γνώσης των πρώτων πρώτων αριθμών και του πολλαπλασιασμού, αλλά το θέμα παραμένει αμφιλεγόμενο. Ενώ τα μαθηματικά παραμένουν ένα μυστήριο για πολλούς από εμάς, θεωρούνται από ορισμένους ως ένας εξαιρετικός τρόπος κατανόησης και ανάλυσης του κόσμου. Στα μαθηματικά υπάρχουν τέλειοι αριθμοίΚάτι που πολλοί άνθρωποι δεν γνωρίζουν.

Σε αυτό το άρθρο θα σας πούμε όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε για τους τέλειους αριθμούς και τα χαρακτηριστικά τους.

ποιοι είναι οι τέλειοι αριθμοί

Οι τέλειοι αριθμοί έχουν να κάνουν με την εύρεση πρώτων αριθμών Mersenne. Στην πραγματικότητα, η Πρόταση 36 του Βιβλίου ΙΧ των Στοιχείων του Ευκλείδη λέει ότι αν ο αριθμός Mersenne 2n – 1 είναι πρώτος, τότε το 2n-1 (2n – 1) είναι τέλειος αριθμός.

Ο Ρενέ Ντεκάρτ επιβεβαίωσε σε μια επιστολή του προς τον Μέισον ότι οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός ήταν ο Ευκλείδης, αλλά δεν απέδειξε τη θεωρία του. Αντίθετα, ο Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler Ήταν ο πρώτος που έδειξε καρτεσιανή παρατήρηση. Ο συνδυασμός των αποτελεσμάτων του Ευκλείδη και του Όιλερ επιτρέπει να αποκτήσουμε έναν πλήρη χαρακτηρισμό των τέλειων αριθμών.

Οι πρώτοι τέσσερις τέλειοι αριθμοί ήταν γνωστοί από την αρχαιότητα. Εμφανίζονται στα έργα των Nico Marcos de Graça και Theon de Smyrna. Ο πέμπτος τέλειος αριθμός αναφέρεται στον λατινικό κώδικα του 1456. Ο έκτος και ο έβδομος τέλειος αριθμός ανακαλύφθηκαν από τον Cataldi τον XNUMXο αιώνα, και το όγδοο από τον Euler το 1772.

Έτσι, στις αρχές της δεκαετίας του 1950 γνωρίζαμε τέλειους 12 αριθμούς, αλλά στη συνέχεια χάρη στο GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), η αναζήτηση επιταχύνθηκε με όλο και πιο εξελιγμένη τεχνολογία και τη χρήση υπολογιστών τη δεκαετία του 1990.

Σε τι χρησιμεύουν

Εάν πολλοί μαθηματικοί θεωρούν ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι η βάση της αριθμητικής, τότε οι τέλειοι αριθμοί δεν έχουν ιδιαίτερη χρήση, δεδομένου ότι δεν χρησιμοποιούνται για την επίλυση εξισώσεων, τον παράγοντα ή την είσοδο στη σφαίρα της κρυπτογραφίας.

Στην αρχαιότητα, θεωρούνταν ανώτεροι, και κάποιος είδε σε αυτό έναν μυστικιστικό ρόλο: «Το έξι είναι ένας τέλειος αριθμός, όχι επειδή ο Θεός δημιούργησε τα πάντα σε έξι ημέρες, αλλά επειδή ο Θεός δημιούργησε τα πάντα σε έξι ημέρες επειδή ο αριθμός είναι τέλειος». Ο Άγιος Αυγουστίνος στην Πόλη του Θεού (420 μ.Χ.)

Είναι ένα από τα μυστήρια των μαθηματικών και η αναζήτηση για νέους τέλειους αριθμούς συνεχίζει να γοητεύει πολλούς μαθηματικούς.

Υπάρχουν πολλές εικασίες σχετικά με τους τέλειους αριθμούς. Η εικασία είναι ένας κανόνας που δεν έχει ποτέ αποδειχθεί. Εδώ είναι τρία:

• Οι τέλειοι αριθμοί του Ευκλείδη είναι όλοι ζυγοί αριθμοί γιατί ένας από τους παράγοντες είναι η δύναμη του 2. Αλλά δεν υπάρχουν στοιχεία που να αποδεικνύουν ότι δεν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί.
• Όλοι οι γνωστοί τέλειοι αριθμοί τελειώνουν σε 6 ή 28, αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα.
• Ούτε έχει αποδειχθεί ότι υπάρχουν πράγματι άπειροι τέλειοι αριθμοί.

ποιοι είναι οι τέλειοι αριθμοί

Οι τέλειοι αριθμοί είναι σπάνιοι. Ενώ όλοι οι μαθηματικοί συμφωνούν ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός από αυτούς (που δεν αποδείχθηκε ποτέ), Σήμερα γνωρίζουμε μόνο 50 και δεν μπορούμε καν να είμαστε σίγουροι ότι δεν υπάρχει τέλειος μέσος αριθμός που να μην έχει ανακαλυφθεί από το 47.

Ο τελευταίος τέλειος αριθμός ανακαλύφθηκε τον Ιανουάριο του 2018. Η ανακάλυψη ενός νέου πολύ μεγάλου πρώτου αριθμού σημαίνει την ανακάλυψη ενός νέου τέλειου αριθμού, ο οποίος είναι η ανακάλυψη του αριθμού 2-1.

Υπάρχουν μόνο τρεις τέλειοι αριθμοί μικρότεροι από το 1000: 6, 28 και 496. Προφανώς ακόμη και τέλειοι αριθμοί τελειώνουν σε 6 ή 8, αν και αυτό δεν έχει ποτέ αποδειχθεί, δεν συμβαίνει πάντα.

Οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί στον τύπο 2n-1 (2n – 1) είναι τριγωνικοί (ή ακόμα και εξαγωνικοί) αριθμοί. Από την άλλη πλευρά, όλοι οι ζυγοί αριθμοί εκτός από τον πρώτο απολύτως άρτιο αριθμό είναι το άθροισμα των 2(n-1)/2 κύβων των πρώτων περιττών αριθμών. Για παράδειγμα:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

Οι πρώτοι οκτώ τέλειοι αριθμοί είναι:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843 008 139 952 128.

Κάποιο ιστορικό

Άγιος Αυγουστίνος, γνωστός και ως Αυγουστίνος του Ιπποπόταμου (354-430), fΉταν Ρωμαίος φιλόσοφος, συγγραφέας, μαθηματικός και ιερέας. Αν έχετε μελετήσει το μάθημα της φιλοσοφίας, το όνομα θα σας είναι οικείο, αφού είναι από τους φιλοσόφους που συνήθως μελετούν το αντικείμενο. Όπως πολλοί άλλοι διανοούμενοι της εποχής του, ο Άγιος Αυγουστίνος ήταν ένας από αυτούς που ανέπτυξαν και εμβάθυναν τη γνώση σε τομείς που κυμαίνονται από τη φιλοσοφία έως τα μαθηματικά, με πολλά περισσότερα να δούμε από όσα μπορούμε να φανταστούμε σήμερα.

Λοιπόν, ο Αυγουστίνος του Ιπποπόταμου είπε ότι οι τέλειοι αριθμοί έχουν λόγο ύπαρξης. Στο έργο του Η Πόλη του Θεού, εξήγησε ότι το 6 είναι τέλειο επειδή ο Θεός δημιούργησε τον κόσμο σε έξι ημέρες. Ο επόμενος αριθμός, 28, αντιστοιχεί στον αριθμό των ημερών που χρειάζεται για να γυρίσει η Σελήνη γύρω από τη Γη μία φορά. Αυτή η δήλωση δεν είναι χωρίς διαμάχη, σύμπτωση ή όχι;

Δεν δίνεται εξήγηση για τους επόμενους δύο αριθμούς. Είναι 496 και 8128. Οι τέσσερις πρώτοι αριθμοί ανακαλύφθηκαν ήδη από τον XNUMXο αιώνα μ.Χ. από τον Νικόμαχο Γεράσα, έναν φιλόσοφο και μαθηματικό που ζούσε στην αρχαία πόλη της Δεκάπολης, σημερινή Ιορδανία, η οποία ανήκε στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία.

Για να βρούμε τον πέμπτο τέλειο αριθμό χρειάστηκε να κάνουμε ένα μεγάλο άλμα στην ιστορία μέχρι να φτάσουμε στον δέκατο πέμπτο αιώνα, αφού ο πέμπτος τέλειος αριθμός 33 550 336 εμφανίστηκε σε χειρόγραφα αυτού του αιώνα. Το έκτο και το έβδομο, 8.589.869.056 και 137.438.691.328, ανακαλύφθηκαν έναν αιώνα αργότερα, το 1588, από τον Ιταλό μαθηματικό Pietro Cataldi.

Όπως και οι τέλειοι αριθμοί, είναι γνωστός μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός αριθμών Mersenne. Οι αριθμοί ονομάζονται από τον Marin Mason, ο άνθρωπος που εξέθεσε μια σειρά από υποθέσεις για αυτούς. Ο Μέισον ήταν Γάλλος φιλόσοφος, μαθηματικός και ιερέας (1588-1648).

Ήταν ο Euler που ανακάλυψε αυτούς τους ειδικούς αριθμούς, χάρη στα θεμέλια που έθεσε ο Mason. Ο Leonhard Paul Euler (1707-1783) ήταν Ελβετός μαθηματικός και φυσικός. Φυσικά, το όνομά του θα σας είναι ήδη γνωστό, γιατί η εύρεση του τέλειου όγδοου αριθμού δεν ήταν το μοναδικό του επίτευγμα. Πήρε επίσης το όνομά του από τον αριθμό του Euler (e), που χρησιμοποιείται σε πολλούς φυσικούς και υπολογιστικούς τύπους.

Ελπίζω ότι με αυτές τις πληροφορίες μπορείτε να μάθετε περισσότερα για αυτούς τους αριθμούς και τα χαρακτηριστικά τους.