Στην τοπολογία, ένας κλάδος των μαθηματικών, μπουκάλι klein είναι ένα παράδειγμα μη προσανατολισμένης επιφάνειας. Είναι μια δισδιάστατη πολλαπλότητα για την οποία δεν μπορεί να οριστεί με συνέπεια ένα σύστημα για τον προσδιορισμό των κανονικών διανυσμάτων. Ανεπίσημα, είναι μια επιφάνεια μονής όψης που, αν περάσει, μπορεί να ακολουθηθεί πίσω στην αρχή καθώς ο ταξιδιώτης γυρίζει.
Σε αυτό το άρθρο θα σας πούμε όλα όσα πρέπει να ξέρετε για το μπουκάλι Klein, τα χαρακτηριστικά και τις περιέργειές του.
Κύρια χαρακτηριστικά
Άλλα σχετικά μη προσανατολίσιμα αντικείμενα περιλαμβάνουν λωρίδες Möbius και αληθινά επίπεδα προβολής. Οι ταινίες Mobius είναι περιορισμένες επιφάνειες, ενώ οι φιάλες Klein δεν έχουν όρια. Συγκριτικά, μια σφαίρα είναι μια άπειρα προσανατολισμένη επιφάνεια. Το μπουκάλι Klein περιγράφηκε για πρώτη φορά το 1882 από τον Γερμανό μαθηματικό Felix Klein.
Μια συλλογή από φυσητά στο χέρι γυάλινα μπουκάλια Klein εκτίθεται στο Μουσείο Επιστημών στο Λονδίνο, παρουσιάζοντας πολλές παραλλαγές σε αυτό το τοπολογικό θέμα. Τα μπουκάλια χρονολογούνται από το 1995 και κατασκευάστηκαν από τον Alan Bennett για το μουσείο.
Το ίδιο το μπουκάλι Klein δεν διασταυρώνεται. Ωστόσο, υπάρχει ένας τρόπος να οπτικοποιήσετε το μπουκάλι Klein που περιέχεται σε τέσσερις διαστάσεις. Οι αυτοτομές μπορούν να αφαιρεθούν προσθέτοντας μια τέταρτη διάσταση στον τρισδιάστατο χώρο. Σπρώξτε απαλά ένα τμήμα σωλήνα που περιέχει τη διασταύρωση έξω από τον αρχικό τρισδιάστατο χώρο κατά μήκος της τέταρτης διάστασης. Μια χρήσιμη αναλογία είναι να εξετάσουμε μια καμπύλη που τέμνει ένα επίπεδο. Οι αυτοδιασταυρώσεις μπορούν να αφαιρεθούν ανυψώνοντας τα νήματα από το επίπεδο.
Για να διευκρινίσουμε, ας πούμε ότι παίρνουμε το χρόνο ως την τέταρτη διάσταση. Σκεφτείτε πώς να δημιουργήσετε ένα γράφημα στο χώρο xyzt. Το συνημμένο σχήμα ("Εξέλιξη με την πάροδο του χρόνου...") δείχνει μια χρήσιμη εξέλιξη αυτού του σχήματος. Στο t = 0, ο τοίχος φυτρώνει κάπου κοντά στη «τομή». Αφού η φιγούρα μεγάλωσε, το πρώτο μέρος του τοίχου άρχισε να υποχωρεί, εξαφανίζοντας σαν γάτα Cheshire, αφήνοντας όμως πίσω το πλατύ του χαμόγελο. Όταν το μέτωπο ανάπτυξης φτάσει εκεί που βρίσκεται ο βλαστός, δεν υπάρχει τίποτα να διασταυρωθεί και η ανάπτυξη ολοκληρώνεται χωρίς να τρυπήσει την υπάρχουσα δομή.
Ιδιότητες φιάλης Klein
Μια φιάλη Klein είναι μια μη προσανατολισμένη επιφάνεια που συχνά απεικονίζεται ως φιάλη με μακρύ λαιμό με κυρτό λαιμό που περνά από μέσα για να ανοίξει ως βάση. Το μοναδικό σχήμα του μπουκαλιού Klein σημαίνει ότι έχει μόνο μία επιφάνεια: το εσωτερικό είναι ίσο με το εξωτερικό. Ένα μπουκάλι Klein δεν μπορεί στην πραγματικότητα να υπάρχει στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, αλλά μια αναπαράσταση που φυσάει γυαλί μπορεί να μας δώσει μερικές ενδιαφέρουσες ιδέες. Αυτό δεν είναι ένα πραγματικό μπουκάλι klein, αλλά βοηθάει στην οπτικοποίηση του τι οραματίστηκε ο Γερμανός μαθηματικός Felix Klein όταν σκέφτηκε την ιδέα για το μπουκάλι Klein.
Εάν το σύμβολο είναι προσαρτημένο σε μια προσανατολιζόμενη επιφάνεια, όπως το εξωτερικό μιας σφαίρας, θα διατηρήσει τον ίδιο προσανατολισμό ανεξάρτητα από το πώς το μετακινείτε. Το ειδικό σχήμα του μπουκαλιού Klein σάς επιτρέπει να σύρετε το σύμβολο σε διαφορετικές κατευθύνσεις: μπορεί να εμφανιστεί ως καθρέφτης του εαυτού του στην ίδια επιφάνεια. Αυτή η ιδιότητα του μπουκαλιού Klein καθιστά αδύνατο τον προσανατολισμό του.
Το μπουκάλι Klein πήρε το όνομά του από τον Γερμανό μαθηματικό Felix Klein. Η δουλειά του Felix Klein στα μαθηματικά τον έκανε πολύ εξοικειωμένο με τις ταινίες Möbius. Μια λωρίδα Möbius είναι ένα φύλλο χαρτιού που περιστρέφεται μισή στροφή και συνδέεται από άκρη σε άκρη. Αυτή η περιστροφή μετατρέπει ένα συνηθισμένο φύλλο χαρτιού σε μια μη προσανατολισμένη επιφάνεια. Ο Felix Klein σκέφτηκε ότι αν ένωνε δύο λωρίδες Möbius κατά μήκος των άκρων τους, θα δημιουργούσε έναν νέο τύπο επιφάνειας με τις ίδιες περίεργες ιδιότητες: μια επιφάνεια Klein ή ένα μπουκάλι Klein.
Το μπουκάλι Klein περιγράφεται ως μια μη προσανατολισμένη επιφάνεια, επειδή εάν ένα σύμβολο είναι προσαρτημένο στην επιφάνεια, μπορεί να γλιστρήσει με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορεί να επιστρέψει στην ίδια θέση με μια εικόνα καθρέφτη.
Μπορεί να κατασκευαστεί ένα μπουκάλι Klein στην πραγματική ζωή;
Δυστυχώς για όσους από εμάς θέλουν να δουν αληθινά μπουκάλια Klein, δεν μπορούν να κατασκευαστούν στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο που ζούμε. Συνδέστε τις άκρες δύο λωρίδων Möbius για να φτιάξετε μια φιάλη Klein δημιουργεί τομές που δεν υπάρχουν στα θεωρητικά μοντέλα. Το πραγματικό μοντέλο του μπουκαλιού Klein έπρεπε να ξεπεράσει τον εαυτό του όταν ο λαιμός ξεκολλούσε από το πλάι. Αυτό μας δίνει κάτι που δεν είναι πραγματικά ένα λειτουργικό μπουκάλι Klein, αλλά εξακολουθεί να είναι διασκεδαστικό να το εξετάζουμε.
Δεδομένου ότι οι φιάλες Klein μοιράζονται πολλές παράξενες ιδιότητες με τις λωρίδες Möbius, όσοι από εμάς δεν έχουμε βαθιά κατανόηση των μαθηματικών για να κατανοήσουμε πραγματικά τις περιπλοκές των φιαλών Klein μπορούν να δοκιμάσουν τις ταινίες Moebius του Felix Klein Συναρπαστικό εύρημα .
Επιφάνεια Klein
Ο Clifford Stoll είναι ο άνθρωπος πίσω από το σχέδιο αυτού του γιγαντιαίου μπουκαλιού Klein, το οποίο έχει ύψος 106 cm, πλάτος 62,2 cm και περίμετρο 163,5 cm. Κατασκευάστηκε από την Kildee Scientific Glass μεταξύ 2001 και 2003.
Το αρχικό όνομα του αντικειμένου δεν ήταν Klein Flask (γερμανικά Kleinsche Flasche), αλλά Klein Surface (γερμανικά Kleinsche Fläche). Η μετάφραση του πρώτου αντικειμένου αναφοράς από τα γερμανικά στα αγγλικά μπέρδεψε τις λέξεις. Λόγω της εμφάνισης της τρισδιάστατης απόδοσης που θυμίζει μπουκάλι, σχεδόν κανείς δεν παρατήρησε το σφάλμα.
Αν χωρίσουμε το μπουκάλι Klein στα δύο κατά μήκος του επιπέδου συμμετρίας του, δημιουργούμε δύο λωρίδες Möbius, καθεμία από τις οποίες είναι μια κατοπτρική εικόνα του άλλου (σαν να κοιτούσε ο ένας στον καθρέφτη). Επειτα, ένα μπουκάλι Klein είναι ένα παράδειγμα μη προσανατολισμένης επιφάνειας, όπως είναι μια λωρίδα Möbius. Δεν έχει άλλη λειτουργία από το να την αντιπροσωπεύει. Οι προσανατολίσιμες ή μη προσανατολισμένες επιφάνειες είναι τοπολογικές έννοιες. Και οι δύο είναι παραδείγματα επιφανειών μονής όψης, καθώς δεν είναι προσανατολίσιμες. Η μαγεία του έγκειται στο ότι μπορεί να το καλύψει πλήρως με έναν εντελώς συνεχή τρόπο, καλύπτοντας όλα τα σημεία που το σχηματίζουν.
Ελπίζω ότι με αυτές τις πληροφορίες μπορείτε να μάθετε περισσότερα για το μπουκάλι Klein και τα χαρακτηριστικά του.