perfekte Zahlen

Mathematik gibt es seit Anbeginn. Wenn man der Entdeckung des Ishango-Knochens (vor über 20.000 Jahren) Glauben schenken will, war dies vielleicht der erste Beweis für die Kenntnis der ersten Primzahlen und der Multiplikation, aber das Thema bleibt umstritten. Während Mathematik für viele von uns ein Rätsel bleibt, wird sie von einigen als eine großartige Möglichkeit angesehen, die Welt zu verstehen und zu analysieren. In der Mathematik gibt es perfekte ZahlenEtwas, das viele Menschen nicht wissen.

In diesem Artikel erzählen wir dir alles, was du über perfekte Zahlen und ihre Eigenschaften wissen musst.

was sind vollkommene zahlen

Bei perfekten Zahlen geht es darum, Mersenne-Primzahlen zu finden. Tatsächlich sagt Satz 36 von Buch IX der Euklidischen Elemente, dass, wenn die Mersenne-Zahl 2n – 1 eine Primzahl ist, 2n-1 (2n – 1) eine vollkommene Zahl ist.

René Descartes bestätigte in einem Brief an Mason, dass jede gerade Zahl Euklid war, aber er bewies seine Theorie nicht. Stattdessen der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler Er war der erste, der die kartesische Beobachtung demonstrierte. Die Kombination der Ergebnisse von Euklid und Euler ermöglicht eine vollständige Charakterisierung der vollkommenen Zahlen.

Die ersten vier vollkommenen Zahlen sind seit der Antike bekannt. Sie erscheinen in den Werken von Nico Marcos de Graça und Theon de Smyrna. Die fünfte perfekte Zahl wird im lateinischen Code von 1456 erwähnt. Die sechste und siebte perfekte Zahl wurden von Cataldi im XNUMX. Jahrhundert entdeckt, und die achte von Euler im Jahr 1772.

In den frühen 1950er Jahren kannten wir also perfekte 12 Zahlen, aber dank GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) beschleunigte sich die Suche mit immer ausgefeilterer Technologie und dem Einsatz von Computern in den 1990er Jahren.

Wofür sind sie?

Wenn viele Mathematiker Primzahlen als Grundlage der Arithmetik betrachten, dann haben vollkommene Zahlen keinen besonderen Nutzen, da sie nicht verwendet werden, um Gleichungen zu lösen, zu faktorisieren oder in den Bereich der Kryptographie einzutreten.

In der Antike galten sie als überlegen, und jemand sah darin eine mystische Rolle: „Sechs selbst ist eine vollkommene Zahl, nicht weil Gott alles in sechs Tagen erschaffen hat, sondern weil Gott alles in sechs Tagen erschaffen hat, weil die Zahl vollkommen ist“ – Augustinus in der Stadt Gottes (420 n. Chr.)

Sie sind eines der Mysterien der Mathematik, und die Suche nach neuen perfekten Zahlen fasziniert viele Mathematiker nach wie vor.

Über vollkommene Zahlen wird viel spekuliert. Eine Vermutung ist eine Regel, die nie bewiesen wurde. Hier sind drei:

• Euklids vollkommene Zahlen sind alle gerade Zahlen, weil einer der Faktoren eine Potenz von 2 ist. Aber es gibt keinen Beweis dafür, dass es keine ungeraden vollkommenen Zahlen gibt;
• Alle bekannten vollkommenen Zahlen enden auf 6 oder 28, aber das ist nicht immer der Fall;
• Es ist auch nicht bewiesen, dass es tatsächlich unendlich viele vollkommene Zahlen gibt.

Was sind die perfekten Zahlen?

Perfekte Zahlen sind selten. Während sich alle Mathematiker darin einig sind, dass es unendlich viele gibt (nie bewiesen), heute kennen wir nur 50 und wir können nicht einmal sicher sein, dass seit 47 keine perfekte mittlere Zahl unentdeckt ist.

Die letzte vollkommene Zahl wurde im Januar 2018 entdeckt. Die Entdeckung einer neuen sehr großen Primzahl bedeutet die Entdeckung einer neuen vollkommenen Zahl, nämlich der Entdeckung der Zahl 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Es gibt nur drei vollkommene Zahlen kleiner als 1000: 6, 28 und 496. Anscheinend enden sogar vollkommene Zahlen auf 6 oder 8, obwohl dies nie bewiesen wurde, ist es nicht immer der Fall.

Die geraden vollkommenen Zahlen in der Formel 2n-1 (2n – 1) sind dreieckige (oder sogar sechseckige) Zahlen. Andererseits sind alle geraden Zahlen außer der ersten vollkommen geraden Zahl die Summe von 2(n-1)/2 Kubikzahlen der ersten ungeraden Zahlen. Zum Beispiel:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

Die ersten acht vollkommenen Zahlen sind:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2.

etwas Geschichte

Augustinus, auch bekannt als Augustinus von Hippo (354-430), fEr war ein römischer Philosoph, Schriftsteller, Mathematiker und Priester. Wenn Sie das Fach Philosophie studiert haben, wird Ihnen der Name bekannt sein, da er einer der Philosophen ist, die sich normalerweise mit dem Fach beschäftigen. Wie viele andere Intellektuelle seiner Zeit war der heilige Augustinus einer von denen, die Wissen in Bereichen von der Philosophie bis zur Mathematik entwickelten und vertieften, wobei es viel mehr zu sehen gab, als wir uns heute vorstellen können.

Nun, Augustinus von Hippo sagte, dass perfekte Zahlen einen Grund haben zu existieren. In seinem Werk The City of God erklärte er, dass 6 perfekt ist, weil Gott die Welt in sechs Tagen erschaffen hat. Die nächste Zahl, 28, entspricht der Anzahl der Tage, die der Mond braucht, um die Erde einmal zu umkreisen. Diese Aussage ist nicht unumstritten, Zufall oder nicht?

Für die nächsten beiden Zahlen wird keine Erklärung gegeben. Sie sind 496 und 8128. Die ersten vier Zahlen wurden bereits im XNUMX. Jahrhundert n. Chr. von Nicomachus von Gerasa entdeckt, einem Philosophen und Mathematiker, der in der antiken Stadt Dekapolis im heutigen Jordanien lebte, die zum Römischen Reich gehörte.

Um die fünfte perfekte Zahl zu finden, mussten wir einen großen Sprung in der Geschichte machen, bis wir das fünfzehnte Jahrhundert erreichten, da die fünfte perfekte Zahl 33 550 336 in Manuskripten aus diesem Jahrhundert auftauchte. Die sechste und siebte, 8.589.869.056 und 137.438.691.328, wurden ein Jahrhundert später, 1588, von dem italienischen Mathematiker Pietro Cataldi entdeckt.

Wie bei den vollkommenen Zahlen ist auch bei den Mersenne-Zahlen nur eine endliche Anzahl bekannt. Die Nummern sind nach Marin Mason benannt, der Mann, der eine Reihe von Hypothesen über sie aufgestellt hat. Mason war ein französischer Philosoph, Mathematiker und Priester (1588-1648).

Es war Euler, der diese speziellen Zahlen dank der von Mason gelegten Grundlage entdeckte. Leonhard Paul Euler (1707-1783) war ein Schweizer Mathematiker und Physiker. Sein Name wird Ihnen natürlich bereits bekannt sein, denn das Finden der perfekten achten Zahl war nicht seine einzige Leistung. Es hat auch seinen Namen von Eulers Zahl (e), die in vielen physikalischen und rechnerischen Formeln verwendet wird.

Ich hoffe, dass Sie mit diesen Informationen mehr über diese Zahlen und ihre Eigenschaften erfahren können.