Ein Fraktal ist ein geometrisches Objekt, das in Teile unterteilt werden kann, die jeweils dem ursprünglichen Objekt ähnlich sind. Fraktale haben unendlich viele Details und sind oft selbstähnlich und skaliert. In vielen Fällen, fraktale sie können durch sich wiederholende Muster, rekursive oder iterative Prozesse erzeugt werden.
In diesem Artikel erzählen wir Ihnen alles, was Sie über Fraktale, ihre Eigenschaften und ihre Bedeutung wissen müssen.
Eigenschaften von Fraktalen
Die Haupteigenschaften, die Fraktale charakterisieren, sind Selbstähnlichkeit, unendliche Komplexität und Dimensionalität.
Selbstähnlichkeit
Selbstähnlichkeit liegt vor, wenn ein Teil einer Figur oder eines Umrisses in kleinerem Maßstab als Nachbildung des Ganzen gesehen werden kann.
unendliche Komplexität
Es bezieht sich auf die Tatsache, dass der Graphbildungsprozess rekursiv ist. Das heißt, wenn eine Prozedur ausgeführt wird, wird die zuvor ausgeführte Prozedur selbst als Unterprozedur in ihrer Prozedur gefunden.
Es ist erwähnenswert, dass im Fall der iterativen Konstruktion eines mathematisch definierten Fraktals das auszuführende Programm unendlich ist, was zu einer unendlich komplexen Struktur führt.
Maximale Abmessungen
Im Gegensatz zur euklidischen Geometrie Die Dimensionen von Fraktalen sind nicht unbedingt ganzzahlige Werte. In diesem Zweig der Mathematik haben Punkte eine Nulldimension, Linien eine Dimension, Oberflächen zwei Dimensionen und Volumen drei Dimensionen. Im Fall der fraktalen Dimension ist dies eine gebrochene Größe, die darstellt, wie gut eine Struktur den Raum einnimmt, der sie enthält.
Beispiele für Fraktale
Die ersten untersuchten Fraktale waren die Cantor-Menge, die Koch-Schneeflocke und das Sierpinski-Dreieck. Fraktale können geometrisch oder stochastisch durch rekursive Prozesse erhalten werden und die Eigenschaften verschiedener Arten von Formen annehmen, die in der Natur vorkommen.
Fraktale gibt es überall. Es gibt viele natürliche Objekte, die aufgrund ihres Verhaltens oder ihrer Struktur als natürliche Fraktale betrachtet werden, aber dies sind endliche Arten von Fraktalen, die sie von mathematischen Fraktalen unterscheiden, die durch rekursive Interaktionen erzeugt werden. Beispiele hierfür sind Wolken und Bäume.
Schlüsselmerkmale
Das Wort "Fraktal" kommt vom lateinischen fractus, was "fragmentiert", "gebrochen" oder einfach "gebrochen" oder "gebrochen" bedeutet und sich gut für Objekte mit gebrochenen Abmessungen eignet. Der Begriff wurde 1977 von Benoît Mandelbrot geprägt und erschien in seinem Buch Fractal Geometry of Nature. Das Studium fraktaler Objekte wird oft als fraktale Geometrie bezeichnet.
Ein Fraktal ist eine mathematische Menge, die in jedem Maßstab Selbstähnlichkeit genießen kann, und ihre Dimensionen sind keine ganzen Zahlen, oder wenn sie es wären, wären sie keine gewöhnlichen ganzen Zahlen. Die Tatsache, dass es selbstähnlich ist, bedeutet, dass das fraktale Objekt nicht vom Beobachter selbst abhängt, das heißt, wenn wir eine Art Fraktal nehmen, Wir können überprüfen, ob die Zeichnung beim doppelten Zoomen dieselbe ist wie die erste. Wenn wir um den Faktor 1000 hineinzoomen, verifizieren wir die gleichen Eigenschaften, wenn wir also n erhöhen, ist der Plot derselbe, also ist der Teil dem Ganzen ähnlich.
Eine Sammlung oder ein Objekt wird als fraktal bezeichnet, wenn es mit abnehmender Skalierung des Messinstruments beliebig groß wird. Es gibt viele gewöhnliche Objekte, die aufgrund ihrer Struktur oder ihres Verhaltens als natürlich gelten.Auch wenn wir sie nicht erkennen. Wolken, Berge, Küsten, Bäume und Flüsse sind alle natürliche Fraktale, wenn auch endlich und daher nicht ideal, im Gegensatz zu mathematischen Fraktalen, die unendlich sind und ideal sind.
Fraktale und Wissenschaft
Die Fraktalkunst ist eng mit der Mathematik, insbesondere der Geometrie, verwandt, da sie, wie der Name schon sagt, das Konzept der Fraktale verwendet. Fraktale basieren auf der ständigen Wiederholung eines sich selbst korrelierenden geometrischen Musters, das heißt, der Teil ist gleich dem Ganzen.
Wenn Sie das Sierpinski-Dreieck aus einem gleichseitigen Dreieck konstruieren, nehmen Sie seinen Mittelpunkt, bilden Sie ein neues gleichseitiges Dreieck und eliminieren Sie das mittlere. Dann machen Sie dasselbe mit jedem verbleibenden Dreieck, und so weiter, also wird es als fraktal betrachtet. Benoit Mandelbrot, der die als Fraktale bekannten mathematischen Formen entdeckte, ist im Alter von 85 Jahren an Krebs gestorben. Mandelbrot, ein französischer und amerikanischer Staatsbürger, entwickelte Fraktale als mathematische Methode, um die unendliche Komplexität der Natur zu verstehen.
Um die Klassifizierung von allgemein nach speziell zu behandeln, können wir sie in zwei große Kategorien unterteilen: deterministische Fraktale (die wiederum algebraisch oder geometrisch sein können) und nicht-deterministische Fraktale (auch bekannt als stochastische Fraktale).
Lineare Fraktale sind solche, die in unterschiedlichen Skalen erstellt werden, das heißt, sie sind auf allen Skalen identisch. Nichtlineare Fraktale hingegen resultieren aus komplexen Verzerrungen, oder wie der Name schon sagt, um einen Begriff in der chaotischen Mathematik zu verwenden, nichtlineare Verzerrungen.
Alltagsleben
Die meisten rein mathematischen und natürlichen Objekte sind nichtlinear. In der Mathematik ist Selbstähnlichkeit, manchmal auch als Selbstähnlichkeit bezeichnet, eine Eigenschaft eines Objekts (als selbstähnliches Objekt bezeichnet), bei dem das Ganze genau oder ungefähr dem gleichen Teil ähnlich ist, zum Beispiel wenn das Ganze dasselbe hat wie eine oder mehrere in Form ihrer Teile.
Ein Fraktal zeichnet sich durch einen Umfang aus, der gegen unendlich tendiert fügen Sie mit aufeinanderfolgenden Iterationen immer kleinere Details hinzu. Diese Kurve überlappt jedoch keine Zeitbeschränkungen des Kreises, der das anfängliche Dreieck umschreibt. Wolken, Berge, Kreislaufsysteme, Küsten oder Schneeflocken sind alle natürliche Fraktale. Diese Darstellung ist ungefähr, weil Eigenschaften idealer Objekte, wie etwa unendliche Details, naturgemäß begrenzt sind.
Die fraktale Geometrie versucht, viele Naturphänomene und wissenschaftliche Experimente zu modellieren und zu beschreiben, und in nur wenigen Jahren ist sie dazu geworden ein multidisziplinäres Werkzeug, das von Wissenschaftlern, Ärzten, Künstlern, Soziologen, Wirtschaftswissenschaftlern, Meteorologen, Musikern und Informatikern verwendet wird, usw.
Ich hoffe, dass Sie mit diesen Informationen mehr über Fraktale und ihre Eigenschaften erfahren können.