Números perfectes

Les matemàtiques han existit des del principi. Si creiem en el descobriment de l'os d'Ishango (fa més de 20.000 anys), pot haver estat la primera prova del coneixement dels primers números primers i la multiplicació, però el tema continua sent controvertit. Si bé les matemàtiques segueixen sent un misteri per a molts de nosaltres, alguns les veuen com una manera excel·lent de comprendre i analitzar el món. En les matemàtiques hi ha els números perfectes, cosa que desconeixen moltes persones.

En aquest article explicarem tot el que necessita saber sobre els números perfectes i les seves característiques.

Què són els números perfectes

Els números perfectes tenen a veure amb trobar números primers de Mersenne. De fet, la Proposició 36 del Llibre IX dels Elements d'Euclides diu que si el nombre de Mersenne 2n – 1 és primer, llavors 2n-1 (2n – 1) és un nombre perfecte.

René Descartes va confirmar en una carta a Mason que qualsevol nombre parell era Euclides, però no va provar la seva teoria. En canvi, el matemàtic suís Leonhard Euler va ser el primer a demostrar l'observació cartesiana. La combinació dels resultats d'Euclides i Euler permet obtenir una caracterització completa dels números perfectes.

Els quatre primers números perfectes es coneixen des de l'antiguitat. Apareixen a les obres de Nico Marcos de Graça i Theon de Smyrna. El cinquè nombre perfecte s'esmenta al Codi llatí de 1456. Els nombres perfectes sisè i setè van ser descoberts per Cataldi al segle XVI, i el vuitè per Euler el 1772.

Aleshores, a principis de la dècada de 1950, coneixíem 12 números perfectes, però després, gràcies a GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), la cerca es va accelerar amb una tecnologia cada cop més sofisticada i l'ús d'ordinadors a la dècada de 1990 .

Per a què serveixen

Si molts matemàtics consideren que els nombres primers són la base de l'aritmètica, llavors els nombres perfectes no tenen un ús particular, ja que no es fan servir per resoldre equacions, factoritzar o entrar a l'àmbit de la criptografia.

A l'antiguitat, se'ls considerava superiors, i algú hi va veure un paper místic: «El sis en si mateix és un nombre perfecte, no perquè Déu ho va crear tot en sis dies, sinó perquè Déu ho va crear tot en sis dies perquè el nombre és perfecte» – Sant Agustí a La Ciutat de Déu (420 dC)

Són un dels misteris de les matemàtiques, i la recerca de nous números perfectes segueix fascinant molts matemàtics.

Hi ha moltes conjectures sobre els números perfectes. Una conjectura és una regla que mai no ha estat provada. Aquí n'hi ha tres:

• Els números perfectes d'Euclides són tots números parells perquè un dels factors és una potència de 2. Però no hi ha evidència per provar que no hi ha números perfectes senars;
• Tots els números perfectes coneguts acaben en 6 o 28, però no sempre és així;
• Tampoc no s'ha provat que efectivament hi hagi infinits nombres perfectes.

Quins són els números perfectes

Els números perfectes són rars. Si bé tots els matemàtics estan dacord que hi ha una quantitat infinita dells (mai provats), avui només en coneixem 50 i ni tan sols podem estar segurs que no hi hagi un número mitjà perfecte sense descobrir-ne des de 47.

L'últim número perfecte es va descobrir el gener de 2018. El descobriment d'un nou cosí molt gran significa el descobriment d'un nou nombre perfecte, que és el descobriment del número 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Només hi ha tres nombres perfectes menors que 1000: 6, 28 i 496. Aparentment, fins i tot els números perfectes acaben en 6 o 8, encara que això mai no s'ha demostrat, no sempre és així.

Els nombres perfectes parells de la fórmula 2n-1 (2n – 1) són números triangulars (o fins i tot hexagonals). D'altra banda, tots els nombres parells excepte el primer nombre perfectament parell són la suma de 2(n-1)/2 cubs dels primers nombres senars. Per exemple:

• 28 = 1³+ 3³,
• 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³,
• 8128 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

Els primers vuit números perfectes són:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 336
• 869.056
• 691.328
• 2 305 843 008 139 952 128.

Una mica d'història

Sant Agustí, també conegut com Agustí d'Hipona (354-430), fue un filòsof, escriptor, matemàtic i sacerdot romà. Si heu estudiat la matèria de filosofia, el nom us resultarà familiar, ja que és un dels filòsofs que sol estudiar la matèria. Com molts altres intel·lectuals de la seva època, Sant Agustí va ser un dels que van desenvolupar i aprofundir coneixements en camps que van des de la filosofia a les matemàtiques, amb molt més a veure del que avui podem imaginar.

Bé, Agustín de Hipona va dir que els números perfectes tenen una raó d'existir. A la seva obra La Ciutat de Déu, va explicar que el 6 és perfecte perquè Déu va crear el món en sis dies. El següent número, 28, correspon al nombre de dies que pren a la Lluna fer una volta al voltant de la Terra. Aquesta afirmació no està exempta de controvèrsia, coincidència o no?

No es dóna cap explicació per als dos números següents. Són 496 i 8128. Els primers quatre números van ser descoberts ja al segle I dC per Nicòmac de Gerasa, un filòsof i matemàtic que vivia a l'antiga ciutat de Decàpolis, ara Jordània, que pertanyia a l'Imperi Romà.

Per trobar el cinquè número perfecte vam haver de fer un gran salt a la història fins arribar al segle XV, ja que el cinquè número perfecte 33 550 336 apareixia en manuscrits d'aquest segle. El sisè i el setè, 8.589.869.056 i 137.438.691.328, van ser descoberts un segle després, el 1588, pel matemàtic italià Pietro Cataldi.

Igual que els números perfectes, només es coneix un nombre finit de números de Mersenne. Els números deuen el seu nom a Marin Mason, l'home que va exposar una sèrie d'hipòtesis sobre ells. Mason va ser un filòsof, matemàtic i sacerdot francès (1588-1648).

Va ser Euler qui va descobrir aquests números especials, gràcies a la base establerta per Mason. Leonhard Paul Euler (1707-1783) va ser un matemàtic i físic suís. Per descomptat, el seu nom ja et resultarà familiar, perquè trobar el vuitè número perfecte no va ser el seu únic èxit. També va rebre el seu nom del número d'Euler (e), que es fa servir en moltes fórmules físiques i computacionals.

Espero que amb aquesta informació puguin conèixer més sobre aquests números i les seves característiques.